Les matériaux ferromagnétiques possèdent la propriété de devenir magnétiques, c’est à dire de s'aimanter, lorsqu'ils sont en présence d'un champ magnétique et de conserver une partie de leur magnétisation lorsque le champ est supprimé. C’est pour cette raison, ces matériaux sont devenus d'usage dans de nombreuses applications industrielles. Le modèle mathématique du micromagnétisme a été introduit par W.F. Brown pour d'écrire le comportement de l'aimantation dans les matériaux ferromagnétiques depuis les années 40.

Pour étudier ce phénomène, on le transforme en un système l'étude de ces équations donnent les informations physiques attendus dans des espaces appropriés. Dans cette thèse on s’est intéressé à des structures minces de films ferromagnétiques. En pratique, une structure mince est un objet tridimensionnel ayant une ou deux directions prépondérantes comme par exemple une plaque, une barre ou un fil. Nous étudions le comportement de l'énergie quand l'épaisseur du film tend vers zéro.

Dans le premier travail, nous généralisons un résultat dû à Gioia et James à des dimensions supérieures à 4. Plus précisément, on considère un domaine mince borné ferromagnétique dans $\mathbb R^n$, le but est d'étudier les comportements asymptotiques de l'énergie libre du domaine mince ferromagnétique.

Dans le deuxième travail, on s'intéresse à une approche dynamique de problème micromagnétisme . On étudie le comportement asymptotique des solutions des équations Landau Lifshitz dans un multi-structure mince ferromagnétique composée de deux films minces orthogonaux d'épaisseur respectif $h^a$ et $h^b$. On distingue différents régimes: lorsque $\lim h^a_n/h^b_n \in ]0;\infty[$. On identifie le problème limite et on montre que ce dernier est couplé par une condition de jonction sur l'axe vertical $x_2$, pour tout $x_2 \in] -1/2,1/2[$.

La troisième partie est liée à ce dernier travail, nous complétons l'étude précédente lorsque $\lim h^a_n/h^b_n = 0$ et $+\infty$.

En suite dans la quatrième chapitre, on a étudié des phénomènes de micromagnétisme dans un multi-structure mince: il s'agit d'un ouvert connexe de $\mathbb R^3$ composé de deux parties ayant un angle $\theta \in ]0; \pi[$, le but est d'étudier les comportements asymptotiques de l'énergie libre dans ce domaine lorsque l'épaisseur tend vers zéro. Il s'agit d'un problème non convexe et non local. On identifie le problème limite, et on montre que l'aimantation $m^{(h)}$ converge vers une fonction $\mu=(\mu^a,\mu^b)$ qui minimise ce dernier. Le problème limite obtenu est local, couplé par une condition de jonction $\mu^a(x_2,0)=\mu^b(0,x_2)$ pour $x_2\in ] -1/2,1/2[$.

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Dans cette thèse, nous nous intéresserons à l'approximation numérique en loi des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Ces équations peuvent être vues comme une généralisation du concept d'équations aux dérivées partielles (EDP) déterministes, équations servant à modéliser de nombreux phénomènes physiques, biologiques ou encore économiques. L'aspect stochastique apparaît avec la volonté de prendre en compte des données que l'on ne connaît pas de façon déterministe et dont nous avons uniquement des informations statistiques. Ces données peuvent être aussi bien un coefficient de l'équation qu'un terme de force.La discrétisation de cette source d'information bruitée pose le problème de leur troncature.

Une première méthode populaire (Monte Carlo) consiste à simuler le bruit afin d'obtenir une famille de trajectoires du bruit, puis à résoudre pour chacune de ces trajectoires l'équation associée, afin de pouvoir faire des statistiques sur l'ensemble des solutions obtenues. Elle offre l'avantage d'être relativement simple à mettre en œuvre, mais se pose alors des problèmes de lenteur de convergence dus au coût unitaire des intégrations numériques de chaque trajectoire qui dépend en général de la méthode déterministe utilisée, de la dimension du problème et de la variance des moments que l'on souhaite estimer.

Une deuxième approche est, dans la philosophie des méthodes spectrales, la décomposition du bruit sur une base polynomiale adaptée à une mesure de référence (ici la mesure de Wiener). C'est la méthode principalement dans cette thèse. Nous décrirons comment à l'aide d'une décomposition dite en chaos il est possible d'obtenir des statistiques de solutions d'EDPS, mais également comment on peut se servir d'une telle décomposition afin de réduire la variance dans une méthode de Monte Carlo.

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L'objet de cette thèse est l'étude de l'asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann ainsi que l'étude de la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique à l'aide d'équations différentielles stochastiques non linéaires.

Le premier chapitre est consacré 'a l'équation de Kac avec un potentiel Maxwellien. Nous commençons par donner une vitesse de convergence explicite (que l'on pense être optimale) dans le cadre de l'asymptotique des collisions rasantes. Puis nous approchons la solution de l'équation de Kac dans le cadre général, ce qui nous permet de montrer la propagation du chaos pour un système de particules vers cette dernière de manière quantitative.

Dans le deuxième chapitre, nous étudions l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann avec des potentiels mous et de Coulomb. Nous donnons là encore des vitesses de convergence explicites (mais non optimales).

Enfin dans le troisième et dernier chapitre, nous montrons la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique. Pour cela, nous utilisons des arguments de compacité (tension du système de particules).

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Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs strictement hyperboliques à coefficients peu réguliers, aussi bien qu'à l'étude du système d'Euler incompressible à densité variable.

Dans la première partie, on montre des estimations a priori pour des opérateurs strictement hyperboliques dont les coefficients d'ordre le plus grand satisfont une condition de continuité log-Zygmund par rapport au temps et une condition de continuité log-Lipschitz par rapport à la variable d'espace. Ces estimations comportent une perte de dérivées qui croît en temps. Toutefois, elles sont suffisantes pour avoir encore le caractère bien posé du problème de Cauchy associé dans l'espace $H^\infty$ (pour des coefficients du deuxième ordre ayant assez de régularité).

Dans un premier temps, on considère un opérateur complet en dimension d'espace égale à 1, dont les coefficients du premier ordre étaient supposés hölderiens et celui d'ordre 0 seulement borné. Après, on traite le cas général en dimension d'espace quelconque, en se restreignant à un opérateur de deuxième ordre homogène: le passage à la dimension plus grande exige une approche vraiment différente.

Dans la deuxième partie de la thèse, on considère le système d'Euler incompressible à densité variable. On montre son caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans la classe des fonctions globalement lipschitziennes, et on établit aussi des bornes inférieures pour le temps de vie de la solution ne dépendant que des données initiales. Cela fait, on prouve la persistance des structures géométriques, comme la régularité stratifiée et conormale, pour les solutions de ce système.

À la différence du cas classique de densité constante, même en dimension 2 le tourbillon n'est pas transporté par le champ de vitesses. Donc, a priori on peut s'attendre à obtenir seulement des résultats locaux en temps. Pour la même raison, il faut aussi laisser tomber la structure des poches de tourbillon.

La théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel nous permettent d'aborder ces deux différents problèmes. En plus, on a besoin aussi d'une nouvelle version du calcul paradifférentiel, qui dépend d'un paramètre $\gamma\ge 1$, pour traiter les opérateurs à coefficients peu réguliers.

Le cadre fonctionnel adopté est celui des espaces de Besov, qui comprend en particulier les ensembles de Sobolev et de Hölder. Des classes intermédiaires de fonctions, de type logarithmique, entrent, elles aussi, en jeu.

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L'objet de cette thèse consiste en la construction de nouveaux exemples de surfaces (ou hypersurfaces) minimales dans les espaces euclidiens $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$ avec $n>2$ ou dans l'espace homogène $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}$. Nous prouvons l'existence de surfaces minimales dans $\mathbb{R}^3$ arbitrairement proches d'un polygone convexe. Nous prouvons également l'existence d'hypersurfaces minimales de type Riemann dans $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$, $n>2$. Celles-ci peuvent être interprétées comme étant une famille d'hyperplans horizontaux (des bouts) reliés les uns aux autres par des morceaux de caténoïdes déformés (des cous). Nous donnons un résultat général pour ce type d'objet quand il est périodique ou bien quand il a un nombre fini de bouts horizontaux. Cela se fait sous certaines hypothèses de contraintes sur les forces intervenant dans la construction. Nous finissons en donnant plusieurs exemples, notamment l'existence d'une hypersurface de type Wei verticale qui n'existe pas en dimension $3$. Nous donnons aussi la preuve de l'existence d'une surface minimale de type Riemann dans $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}$ telle que deux bouts sphériques sont reliés entre eux alternativement par $1$ cou et $2$ cous. Là aussi, nous mettons en évidence le rôle joué par les forces lors de la construction. De même que dans le chapitre précédent, la méthode repose sur un processus de recollement. Nous donnons une description très précise de la caténoïde et la surface de Riemann dans $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}$. Enfin, nous établissons l'existence dans $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$ d'hypersurfaces de type Scherk lorsque $n>2$.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes subissant des coagulations et fragmentations succesives. Dans le cas déterministe, on travaille avec des solutions mesures de l'équation de coagulation - multifragmentation. On étudie aussi la contrepartie stochastique de ces systèmes : les processus de coalescence - multifragmentation qui sont des processus de Markov à sauts.

Dans un premier temps, on étudie le phénomène de coagulation seul. D'un côté, l'équation de Smoluchowski est une équation intégro-différentielle déterministe. D'un autre côté, on considère le processus stochastique connu sous le nom de Marcus-Lushnikov qui peut être regardé comme une approximation de la solution de l'équation de Smoluchowski. Nous étudions la vitesse de convergence par rapport à la distance de type Wassertein $d_{\lambda}$ entre les mesures lorsque le nombre de particules tend vers l'infini. Notre étude est basée sur l'homogénéité du noyau de coagulation $K$.
On complémente les calculs pour obtenir un résultat qui peut être interprété comme une généralisation de la Loi des Grands Nombres. Des conditions générales et suffisantes sur des mesures discrètes et continues $\mu_0$ sont données pour qu'une suite de mesures $\mu_0^n$ à support compact existe. On a donc trouvé un taux de convergence satisfaisant du processus Marcus-Lushnikov vers la solution de l'équation de Smoluchowski par rapport à la distance de type Wassertein $d_{\lambda}$ égale à $1/\sqrt{n}$.

Dans un deuxième temps on présente les résultats des simulations ayant pour objectif de vérifier numériquement le taux de convergence déduit précédemment pour les noyaux de coagulation qui y sont étudiés.

Finalement, on considère un modèle prenant en compte aussi un phénomène de fragmentation où un nombre infini de fragments à chaque dislocation est permis. Dans la première partie on considère le cas déterministe, dans la deuxième partie on étudie un processus stochastique qui peut être interprété comme la version macroscopique de ce modèle.

D'abord, on considère l'équation intégro-partielle différentielle de coagulation - multifragmentation qui décrit l'évolution en temps de la concentration $\mu_t(x)$ de particules de masse $x>0$. Le noyau de coagulation $K$ est supposé satisfaire une propriété de $\lambda$-homogénéité pour $\lambda\in(0,1]$, le noyau de fragmentation $F$ est supposé borné et la mesure $\beta$ sur l'ensemble de ratios est conservative. Lorsque le moment d'ordre $\lambda$ de la condition initial $\mu_0$ est fini, on est capable de montrer existence et unicité d'une solution mesure de l'équation de coagulation - multifragmentation.

Ensuite, on considère la version stochastique de cette équation, le processus de coalescence - fragmentation est un processus de Markov càdlàg avec espace d'états l'ensemble de suites ordonnées et est défini par un générateur infinitésimal donné. On a utilisé une représentation Poissonienne de ce processus et la distance $\delta_{\lambda}$ entre deux processus. Grâce à cette méthode on est capable de construire une version finie de ce processus et de coupler deux processus démarrant d'états initiaux différents. Lorsque l'état initial possède un moment d'ordre $\lambda$ fini, on prouve existence et unicité de ces processus comme la limite de suites de processus finis. Tout comme dans le cas déterministe, le noyau de coagulation $K$ est supposé satisfaire une propriété d'homogénéité. Les hypothèses concernant la mesure $\beta$ sont exactement les mêmes. D'un autre côté, le noyau de fragmentation $F$ est supposé borné sur tout compact dans $(0,\infty)$. Ce résultat est meilleur que celui du cas déterministe, cette amélioration est due à la propriété intrinsèque de masse totale.

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Alors que de nombreux systèmes classiques présentent des propriétés de fractalité ou de multifractalité, la mise en évidence de l'existence de fonctions d'onde quantiques multifractales est beaucoup plus récente. Plusieurs modèles quantiques ayant de telles propriétés ont été récemment identifiés. Dans le domaine du chaos quantique, ils correspondent à des systèmes pseudointégrables pour lesquels des constantes du mouvement existent mais dont les surfaces invariantes ont des propriétés topologiques complexes. En matière condensée, ces propriétés sont présentes pour des électrons dans un potentiel désordonné au point de la transition métal-isolant (transition d'Anderson). Ces propriétés multifractales se manifestent conjointement avec des statistiques spectrales d'un type particulier, intermédiaire entre la distribution de Poisson, caractéristique des systèmes intégrables, et les prédictions de la théorie des matrices aléatoires, associées aux systèmes classiquement chaotiques. Après avoir présenté différents modèles d'applications quantiques dont les propriétés spectrales sont intermédiaires, je proposerai une conjecture reliant la dimension d'information des fonctions d'onde à la compressibilité du spectre.

Nous nous intéressons dans un premier temps aux espacements uniformes multivariés. Plus précisément, nous étudions l’ensemble des points de $[0,1]^d$ où nous avons infiniment souvent de "grands" espacements. Nous montrons que nous pouvons calculer la dimension de Hausdorff de cet ensemble de points exceptionnels. Dans une deuxième partie, nous étudions les oscillations de certains processus, le mouvement brownien par exemple. Nous regardons les points au voisinage desquels nous avons infiniment souvent de "grandes" oscillations. Ces évènements rares constituent un ensemble fractal et nous prouvons qu’il est également possible de calculer sa dimension de Hausdorff.