Nous présentons la construction d'un nouveau processus aléatoire multifractal à temps continu, dont le caractère asymétrique correspond à des régularités statistiques observées sur le prix de certains actifs financiers. En effet, sur les données, on constate que les distributions empiriques présentent des queues plus épaisses pour les valeurs négatives que pour les valeurs positives (les krachs l'emportent sur les fortes hausses), et de plus les fortes baisses du cours ont tendance à augmenter la volatilité du prix dans les périodes qui suivent. Les modèles multifractals déjà existants comme le processus MRW reproduisent bien la plupart des régularités statistiques des données financières, exceptée cette asymétrie ; nous modifions l'approche MRW en intégrant le processus de cascade qui représente la volatilité contre un bruit gaussien fractionnaire et corrélé au processus de cascade.

Il s'agit d'une collaboration avec Emmanuel Bacry et Jean-François Muzy.

Le but de cette présentation est d'expliquer quelques problèmes rencontrés en finance ainsi que l'enjeu numérique qu'ils posent. On aura donc à présenter chaque problème d'une manière théorique puis donner la formulation algorithmique la plus appropriée (au sens du temps de calcul).

*IMPORTANT* : Le café sera servi au laboratoire (bâtiment P3, 4e étage).

On montre divers résultats d'optimisation pour la première valeur propre d'opérateurs elliptiques généraux du second ordre sous forme divergence avec condition au bord de Dirichlet dans des domaines bornés non vides de classe $C^2$ de $\mathbb{R}^n$. En particulier, on obtient une inégalité de type "Faber-Krahn" pour ces opérateurs, qui généralise l'inégalité de Rayleigh-Faber-Krahn pour la première valeur propre du Laplacien. Les preuves utilisent une nouvelle méthode de réarrangement. Il s'agit de travaux en collaboration avec François Hamel et Nikolai Nadirashvili.

L'analyse multifractale est l'étude des propriétés locales des ensembles de mesures ou de fonctions. Son importance est apparue dans le cadre de la turbulence pleinement développée. Dans ce cadre, l'expérimentateur n'a pas accès à la vitesse en tout point d'un fluide mais il peut mesurer sa valeur en un point en fonction du temps. On ne mesure donc pas directement la fonction vitesse du fluide, mais sa trace. Cette thèse sera essentiellement consacrée à l'étude du comportement local de traces de fonctions d'espaces de Besov : nous déterminerons la dimension de Hausdorff des ensembles de points ayant un exposant de Hölder donné (spectre multifractal). Afin de caractériser facilement l'exposant de Hölder et l'appartenance à un espace de Besov, on utilisera la décomposition de fonctions sur les bases d'ondelettes.

Nous n'obtiendrons pas la valeur du spectre de la trace de toute fonction d'un espace de Besov mais sa valeur pour un ensemble générique de fonctions. On fera alors appel à deux notions de généricité différentes : la prévalence et la généricité au sens de Baire. Ces notions ne coïncident pas toujours, mais, ici on obtiendra les mêmes résultats.

Dans la dernière partie, afin de déterminer la forme que peut prend un spectre multifractal, on construira une fonction qui est son propre spectre.

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