Dans cet exposé en deux parties, on commence par prouver un résultat d'unicité linéaire pour des solutions faibles d'équations de transport-diffusion possédant un peu d'intégrabilité. Ce premier théorème s'inscrit dans la lignée de la théorie de DiPerna-Lions, dont on rappellera les grandes lignes. Dans une deuxième partie, on utilise ce résultat d'unicité et ses variantes pour démontrer la régularité complète (lisse) d'une solution de l'équation de Navier-Stokes (incompressible, homogène) dont une seule composante satisfait une hypothèse de régularité critique pour l'échelle de l'équation.