Dans cet exposé, je parlerai de propriétés de symétrie plane pour les solutions de certaines équations aux dérivées partielles en dimension 2 et en dimensions supérieures. Notamment, je montrerai que, dans une bande en dimension 2, un écoulement stationnaire d'un fluide incompressible idéal sans point de stagnation et tangent au bord est nécessairement un écoulement parallèle à la direction de la bande. La même conclusion reste vraie pour un écoulement borné dans un demi-plan. Les preuves sont fondées sur l'étude des propriétés géométriques des lignes de courant et sur des résultats de symétrie plane pour les solutions de certaines équations elliptiques semi-linéaires. Quelques résultats de symétrie plane dans des plaques en dimension N quelconque seront également mentionnés. Cet exposé s'appuie sur des travaux en collaboration avec Nikolai Nadirashvili.