Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction $f$ est de puissance $p$-ème intégrable ($p>1$), sa série de Fourier converge presque partout. D'un autre coté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné $x$, on peut introduire l'indice de divergence comme étant le plus petit exposant $t$ tel que $S_nf(x)=O(n^t)$. On sait que cet indice est au plus égal à $1/p$ et on s'intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points $E_t$ d'indice de divergence donné $t$. Nous montrons que quasi-toute fonction de $L^p$ (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-surement dans $ L^p$, pour tout $t$, la dimension de Hausdorff de $E_t$ vaut $1-tp$. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de $S_nf(x)$ est controlée par le logarithme de $n$. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels. Il s'agit d'un travail commun avec Yanick Heurteaux (Clermont-Ferrand).

The Interval exchange map generalizes the irrational rotation of the circle. We discuss Diophantine type of the irrational rotation to the interval exchange map and introduce a Diophantine type for the interval exchange maps using the asymptotic rate of the return time. It is a generalization of the Roth's type condition for the irrational rotation. Also the asymptotic rate of hitting time is considered.

Introduit par Poincaré dans son Mémoire sur les courbes définies par les équations différentielles, le nombre de rotation est l'invariant fondamental pour comprendre la dynamique sur le cercle. J'essaierai d'expliquer comment cette notion se transpose aux surfaces et comment les nombres de rotations sont au centre de résultats, anciens ou récents, concernant l'existence de points fixes ou la structure algébrique des groupes de difféomorphismes préservant les aires.

L’appareil respiratoire des mammifères contient un arbre dichotomique d’environ 15 générations, l’arbre trachéo-bronchial dont le rôle est de transporter l’air vers les échanges alvéolaires. On montrera que cette arbre fractal est ”multi-optimal”: sa géométrie minimise la dissipation visqueuse, il est simultanément ”space-filling” au sens fractal mais aussi c’est l’arbre le plus rapide qui permet la respiration alternée des mammifères. Ce type particulier de redondance pourrait avoir joué un rôle dans l’évolution. On discutera ensuite de la ”robustesse” de ce type d'arborescences vis-à-vis de l’inévitable variabilité physiologique et on montrera qu’un arbre ”asymétrique mais pas trop” est le plus robuste. Cette asymétrie partielle est conforme à celle trouvée chez l’homme.