Université Paris-Est Université Paris-Est - Marne-la-Vallée Université Paris-Est - Créteil Val-de-Marne Centre National de la Recherche Scientifique

Diffusion et polynômes orthogonaux

Type: 
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Site: 
Date: 
20/12/2012 - 13:30 - 14:30
Salle: 
P1-010
Orateur: 
BAKRY Dominique
Localisation: 
Université Toulouse 3
Localisation: 
France
Résumé: 

Pour décrire des fonctions et étudier des équations d’évolution ou des propriétés fonctionnelles, il est commode d’écrire les fonctions dans des bases orthonormées pour une certaine mesure de référence. Les bases les plus souvent utilisées dans $\mathbb{R}^n$ sont de deux types : les polynômes orthogonaux ou bien les bases de vecteurs propres de certains opérateurs symétriques.

En probabilité, les opérateurs qui nous intéressent sont des opérateurs différentiels du second ordre, de la forme
$$L(f)(x)=\sum_{ij}a^{ij}(x)\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_i b_i(x)\frac{\partial f}{\partial x_i}.$$
Ce sont ceux qui gouvernent les lois des processus de Markov continus (qu’on appelle diffusions) en résolvant l’équation "de la chaleur" associée $\partial_t f = Lf$.

Une question naturelle est donc de déterminer quand ces deux notions coïncident.

En dimension $1$, il n’y a pas beaucoup d’exemples : il s’agit essentiellement des polynômes de Jacobi, de Laguerre et de Hermite. Le premier exemple a comme espace d’état un intervalle borné, le second $[0, 1)$ et le troisième $\mathbb{R}$ tout entier. Ces trois familles sont très utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, depuis la théorie des matrices aléatoire à la mécanique des fluides, et une gigantesque littérature leur est consacrée.

En dimension supérieure, la situation est plus riche. En dimension $2$, pour les domaines compacts (qui correspondent aux polynômes de Jacobi de la dimension $1$), il y a exactement $11$ familles, à transformation affine près. Ces domaines sont tous des domaines dont le bord est défini par des équations algébriques de degré au plus $4$. Chacun d’entre eux correspond en fait à des modèles géométriques qui peuvent être assez simples (groupes
de symétrie d’un espace affine, systèmes de racines), ou plus sophistiqués (provenant par exemple de matrices aléatoires, ou de la fibration de Hopf). Certains modèles ne sont d’ailleurs pas encore entièrement compris.

La classification en dimension supérieure reste à faire, et on ne dispose alors que d’exemples.

On montrera comment on arrive à une telle classification (la formalisation du problème est très simple, même si la solution du problème requiert des outils un peu sophistiqués), et sur certains exemples on parlera des modèles géométriques dont ils proviennent.