L'étude de la dynamique d'un difféomorphisme $f$ consiste à décrire le comportement de ses orbites $x,f(x),f(f(x)),...$. Les difféomorphismes d'une variété peuvent avoir des dynamiques très différentes. Je donnerai quelques exemples. On ne peut pas s'attendre à décrire chacune de ces dynamiques car certaines paraissent trop pathologiques. En revanche, de nombreux résultats ont été obtenus ces dernières années pour les difféomorphismes génériques : ils décrivent une "grosse" partie de l'ensemble des difféomorphismes.

Je présenterai dans cet exposé quelques conjectures et résultats qui laissent entrevoir une possible classification de l'ensemble des dynamiques génériques.