The classical Korteweg-de Vries equation (KdV for short) and its alternative, the regularized long-wave equation (RLW), also called the Benjamin, Bona, Mahony (BBM) equation, are mathematical models that approximately describe surface waves in shallow water in certain regimes. Both the KdV and BBM equations are globally well-posed in a wide range of Sobolev spaces and possess solitary-wave solutions. Furthermore, solitary-wave solutions are all stable.

Systems of coupled KdV equations and coupled BBM equations appear in various applications. There is far less known about them and it appears that their theory is considerably more complicated. The focus of the discussion in the seminar is existence, stability and instability of solitary-wave solutions for systems of these sorts.

La notion de marche quantique sur un graphe rencontre depuis quelques années un certain succès dans la littérature scientifique, vraisemblablement grâce à son positionnement au carrefour de l'informatique théorique, de la physique et des mathématiques. Après une description de certaines marches quantiques populaires illustrant l'intérêt qu'elles suscitent dans ces disciplines, on se concentrera sur les marches quantiques que l'on trouve sous la dénomination "coined quantum walks" dans la littérature. Adoptant un point de vue système dynamique discret sur ces marches quantiques, on discutera ensuite certaines de leurs propriétés de transport dans divers régimes, aléatoires et déterministes, mettant notamment en évidence leurs différences et similitudes avec les marches aléatoires classiques.

Les cristaux liquides nématiques sont une phase de la matière, que certains matériaux possèdent, dans laquelle les molécules ont la tendance à s'aligner localement les unes aux autres. Lorsqu'on considère un film mince de cristaux liquides nématiques étalés sur une surface (ce qu'on appelle une "coque nématique"), l'interaction entre les particules et la surface induit la présence des singularités, les défauts, qui obéissent à des obstructions topologiques et peuvent interagir entre elles et avec la courbure de la surface. Dans cet exposé, nous étudierons un modèle discret pour les coques nématiques, dans lequel les molécules se situent sur les noeuds d'un maillage triangulaire ; nous nous intéresserons notamment à la limite continue du modèle. Ce travail a été effectué en collaboration avec A. Segatti (Università di Pavia, Italie).

Un certain nombre de travaux ont déjà été effectués pour déterminer la localisation des fonctions propres de basse énergie du laplacien magnétique. Avec Nicolas Raymond, nous nous proposons d’ajouter une pierre à l’édifice en calculant de façon relativement explicite un développement BKW de ces fonctions propres. J’expliquerai comment la construction fonctionne et replacerai le résultat dans son contexte.

J’introduirai de façon élémentaire des inégalités de concentration classiques avant de montrer quelles formes elles prennent dans le cadre des systèmes dynamiques non-uniformément hyperboliques. En bref, une inégalité de concentration quantifie la probabilité qu’une fonction séparément lipschitzienne de $n$ variables aléatoires s’écarte de son espérance. Les fonctions autorisées peuvent être fortement non-linéaires et implicites. La probabilité en question est bornée par une fonction d’une constante indépendante de la fonction (et de $n$) et de la somme des carrés de ses constantes de Lipschitz ”partielles”. Je montrerai diverses applications de telles inégalités.

In lots of practical problems, the statistical issue is very much connected to a genuine geometry. It is obviously the case for data observed on geometrical objects: directional data, data defined on some specific manifolds, on graphs, trees, or matrices... In most cases the geometry is well described by a linear operator -the Laplacian in most cases-.

The spectral decomposition of this operator plays an important role translating an intrinsic structure which leads to a natural choice of estimates Morover, the operator often induces a genuine regularization, leading to a regularity definition adapted to the structure of the data, which is fundamental in various situations : denoising, semi-supervised learning, classification...

We illustrate this problem by the example of density estimation using a heat kernel littlewood Paley decomposition, as well as bayesian functional estimation considering Gaussian processes as a-priori measures. In this particular later case, the problem of adaptation shows the need for fitting the a priori distribution to an harmonic analysis of the structure of the data, and in particular we associate the choice of the Gaussian measure with the Laplacian of the structure. We extend the results of Ghosal, Ghosh and van der Vaart, on the concentration a posteriori measures, for the case of geometrical data.

We also relate this construction to a characterization of the regularity of Gaussian processes on geometric objects.

Recently, a novel signal-processing tool was proposed, the scattering transform, which uses a cascade of wavelet filters and nonlinear (modulus) operations to build translation-invariant and deformation-stable representations. Despite being aimed at providing a theoretical understanding of deep neural networks, it also shows state-of-the-art performance in image classification. First, we explore its performance for art authentication purposes. We analyze two databases of art objects (postimpressionist paintings and Renaissance drawings) with the goal of determining those authored by van Gogh and Raphael, respectively. To that end, we combine scattering coefficients with several linear classifiers, in particular sparse $\ell_1$-regularized classifiers. Results show that these tools provide excellent performance, superior to state-of-the-art results, and highlight the benefits of sparse classifiers. Second, we show preliminary results of their use for photorealistic rendering. We highlight the limitations of this approach, and the works currently in progress.

Joint work with Yang Wang and Haixia Liu