Les graphes de Barak-Erdös sont une variante orientée et acyclique des
graphes d'Erdös-Rényi : l'ensemble des sommets est {1,...,n} et pour toute
paire i < j, avec probabilité p on ajoute une arête orientée de i vers j,
indépendamment pour chaque paire i < j. La longueur du plus long chemin dans
les graphes de Barak-Erdös croît linéairement avec le nombre de sommets et
le taux de croissance C(p) est une fonction de la probabilité p de
présence d'une arête.

Foss et Konstantopoulos ont introduit un couplage entre les graphes de
Barak-Erdös et un cas particulier d'un système de particules en
interaction appelé "modèle infini d'urnes". En utilisant ce couplage, nous
prouvons certaines propriétés de C(p) : analyticité pour p proche de 1,
existence d'une dérivée première et absence de dérivée seconde en p=0
(travail en commun avec Bastien Mallein).

Si le temps le permet, j'aborderai des propriétés du modèle infini d'urnes
dans le cas général, telles que le gel et l'existence de transitions de
phases (collaboration avec Ksenia Chernysh et Bastien Mallein).

Depuis une quinzaine d'années, des outils venant de l'analyse, en particulier de nouveaux espaces de Banach de distributions anisotropes, ont permis des progrès substantiels en théorie ergodique.

Après avoir brièvement expliqué comment un trou spectral d'un opérateur de transfert fournit des informations ergodiques, nous nous concentrerons sur les billards de Sinai. Ces systèmes naturels sont uniformément hyperboliques et conservent le volume, mais les orbites rasantes donnent lieu à des singularités. De nouveaux outils analytiques nous ont récemment permis d'obtenir (avec M. Demers et C. Liverani) le mélange exponentiel pour les flots billards de Sinai à horizon fini et le volume naturel. Nous terminerons par un travail en cours (avec M. Demers) sur d'autres états de Gibbs (y compris la mesure maximisant l'entropie).

Les problématiques d'interfaces sont omniprésentes en physique, en biologie, en mécanique, en traitement d'image ou encore en infographie. Il y a, en fonction du contexte et de l'application visée, beaucoup de façons de représenter une surface.

L'exposé portera sur deux modèles de représentation de surfaces qui permettent de bien estimer des énergies d'ordre un (aire, périmètre) ou d'ordre deux (impliquant les courbures) : a) un modèle explicite, où la surface est représentée comme une mesure (plus précisément un varifold), ce qui permet de décrire des surfaces continues (régulières, singulières ou diffuses) aussi bien que des surfaces discrètes (maillage, nuage de points). b) un modèle implicite, appelé champ de phase, qui repose sur une représentation implicite d'une interface continue compatible avec une approximation régulière d'énergies d'ordre un ou deux.

On présentera dans l'exposé les propriétés de ces deux modèles et leur capacité à encoder des informations géométriques. Plusieurs applications numériques seront évoquées : l'estimation de courbures pour des nuages de points ou des maillages, la reconstruction de volumes à partir de coupes 2D, le flot de courbure moyenne ou le flot de Willmore dans des contextes variés (binaire/multiphase, isotrope/anisotrope, libre/confiné).

Abstract: For every $p\in(1,\infty)$ there is a natural notion of topological degree for maps in $W^{1/p,p}({\mathbb S}^1;{\mathbb S}^1)$ which allows us to write that space as a disjoint union of classes, $W^{1/p,p}({\mathbb S}^1;{\mathbb S}^1)=\bigcup_{d \in{\mathbb Z}}\mathcal{E}_d$. For every pair $d_1, d_2 \in \mathbb Z$, we show that the distance $Dist_{W^{1/p,p}}({\mathcal E}_{d_1}, {\mathcal E}_{d_2}):= \sup_{f \in{\mathcal E}_{d_1}} \inf_{g \in{\mathcal E}_{d_2}}\ d_{W^{1/p,p}}(f, g)$ equals the minimal $W^{1/p,p}$-energy in $\mathcal{E}_{d_1-d_2}$. In the special case $p=2$ we deduce from the latter formula an explicit value: $Dist_{W^{1/2,2}}({\mathcal E}_{d_1}, {\mathcal E}_{d_2})=2\pi |d_2-d_1|^{1/2}$.