New Poisson summation formulae have been recently discovered by Nir Lev and Alexander Olevskii since 2013. But some other examples were concealed in an old paper by Andrew Guinand dating from 1959. This was observed by the second author in 2016. In the present contribution a third approach is proposed. Guinand’s work follows from some simple observations on solutions of the wave equation on the three dimensional torus. If the initial velocity is a Dirac mass at the origin, the solution is Guinand’s distribution. Using this new approach one can construct a large family of initial velocities which give rise to crystalline measures generalizing Guinand’s solution.

Je présenterai un travail effectué en collaboration avec B. Merlet et V. Millot sur les minimiseurs d'une fonctionnelle de type Ginzburg-Landau autorisant à la fois des singularités de type vortex et lignes. Je montrerai comment dans un certain régime d'énergie on peut obtenir un modèle limite décrivant l'interaction entre celles-ci. J'expliquerai également comment à partir de la caractérisation des minimiseurs du problème limite on peut en déduire une description assez fine des minimiseurs du problème original.

This work focuses on the asymptotic behavior of the density in small time of a stochastic differential equation driven by an $\alpha$-stable process with index $\alpha \in (0,2)$. We assume that the process depends on a parameter $\beta=(\theta,\sigma)^T$ and we study the sensitivity of the density with respect to this parameter. This extends the results of Emmanuelle Clément and Arnaud Gloter which was restricted to the index $\alpha \in (1,2)$ and considered only the sensitivity with respect to the drift coefficient. By using Malliavin calculus, we obtain the representation of the density and its derivative as an expectation and a conditional expectation. This permits to analyze the asymptotic behavior in small time of the density, using the time rescaling property of the stable process.

L’analyse multifractale est l’analyse mathématiques de l’espace qu’occupe l’irrégularité d’objet ou de fonction irrégulière. Les deux grandes classes de processus dont l’analyse multifractale a été réalisée sont les processus multiplicatifs (issus des cascades de Mandelbrot) et les processus additifs (processus de Lévy, séries aléatoires d’ondelettes et leurs généralisation). Une classe importante de processus se rattache à cette seconde catégorie : les “sommes aléatoires de pulses”. Il s’agit de séries aléatoires où l’on somme des translatées-dilatées d’un “pulse” qui peut avoir une forme arbitraire. Les paramètres de translation, dilatation et d’amplitude pouvant être aléatoires (ou certains peuvent être reliés entre eux de façon déterministe). Des cas particuliers de ce modèle ont été introduits par Lovejoy et Mandelbrot pour modéliser la pluviométrie en un point donné, puis des extensions ont été proposées par Ciosek-Georges, Taqqu, Mandelbrot,.... Enfin, Y. Demichel, dans sa thèse a étudié certains aspects fractals des trajectoires de tels processus. Certaines propriétés de base de ces processus ont été étudiées par ces auteurs (existence, continuité, intégrabilité, dimension de graphe, régularité globale des trajectoires au sens Besov ou Sobolev); cependant, malgré quelques travaux mathématiques déjà existants, de nombreuses questions sont encore ouvertes. Le but de cette présentation est de découvrir quelques exemples d’analyses multifractales avec les fonctions de Levy et de Davenport. Puis de généraliser et d’étudier des sommes de pulses déterministes et aléatoires un peu plus régulier.

Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur le graphe $\mathbb Z^d$ : aux arêtes $e$ du graphe sont associées des variables $(t(e))$ i.i.d. positives. La variable $t(e)$ est appelée le temps de passage de $e$, c’est le temps nécessaire pour traverser l’arête $e$. Il en découle une pseudo-métrique aléatoire $T$ sur le graphe : $T(x,y)$ est le temps minimal nécessaire pour aller d’un site $x$ à un site $y$. Cette pseudo-métrique a été largement étudiée. On peut montrer entre autres que
- quelque soit le site $x$ considéré,la limite quand $n$ tend vers l’infini de $T(0,nx)/n$ existe en un certain sens : on l’appelle la constante de temps et on la note $m(x)$,
- cette convergence a lieu uniformément en la direction de $x$ : c’est le théorème de forme asymptotique,
- la constante $m(x)$ dépend continûment de la loi des temps de passage.

Que se passe-t-il si au lieu de considérer le modèle classique, on autorise les temps de passage des arêtes à être infinis ? Il faut s’assurer que les arêtes de temps de passage fini percolent : on suppose que l’atome de la loi des temps de passage en l’infini est inférieur strictement à $1-p_c(d)$, le paramètre critique pour la percolation de Bernoulli par arêtes dans $\mathbb Z^d$. Cela revient à faire une percolation de Bernoulli sur-critique sur $\mathbb Z^d$, puis à associer indépendamment des temps de passage finis à chaque arête restante. Nous verrons comment généraliser les résultats précédents à ce type de lois des temps de passage.

I will review some important works about stochastic individual-based models of adaptive dynamics, which describe the Darwinian evolution of asexual populations as birth and death processes with competition. Then I will present the counterpart of these models for diploid populations, reproducting according to Mendelian rules. I will present a result of genetic coexistence, showing that diploid populations have a selective advantage with respect to haploid ones : they are able to survive environmental changes much longer. This is a joint work with A. Bovier and R. Neukirch (Uni Bonn).