Dans cet exposé, je parlerai de propriétés de symétrie plane pour les solutions de certaines équations aux dérivées partielles en dimension 2 et en dimensions supérieures. Notamment, je montrerai que, dans une bande en dimension 2, un écoulement stationnaire d'un fluide incompressible idéal sans point de stagnation et tangent au bord est nécessairement un écoulement parallèle à la direction de la bande. La même conclusion reste vraie pour un écoulement borné dans un demi-plan. Les preuves sont fondées sur l'étude des propriétés géométriques des lignes de courant et sur des résultats de symétrie plane pour les solutions de certaines équations elliptiques semi-linéaires. Quelques résultats de symétrie plane dans des plaques en dimension N quelconque seront également mentionnés. Cet exposé s'appuie sur des travaux en collaboration avec Nikolai Nadirashvili.

Dans cet exposé, je commencerai par introduire le domaine de l’optimisation de forme, qui consiste à étudier les problèmes d’optimisation dont l’inconnue est un domaine de $\mathbb R^n$ et dont les applications oscillent entre géométrie, EDP et modélisation. 
On se focalisera ensuite sur le cas où on optimise parmi les domaines convexes, ce qui amène des considérations assez originales par rapport aux cas habituels. Je citerai en particulier de nombreux exemples issus de branches très variées, comme le problème de résistance minimale de Newton, la conjecture de Mahler, et la conjecture de Polya-Szego.
On exhibera un phénomène commun aux solutions de ces problèmes, à savoir une saturation de la contrainte de convexité (la courbure de Gauss veut s’annuler autant que possible). 

Les sous-shifts sont des sous-ensembles de $\mathbb Z^d$ fermés invariants par translation, ou de manière équivalente, définissables par une famille de motifs interdits. Un sous-shift est minimal si il ne contient proprement aucun autre sous-shift, tous les sous-shifts contiennent donc un sous-shift minimal. Nous nous intéressons ici à la structure calculatoire de ces sous-shifts et en particulier à la structure de leurs ensembles de degrés Turing. Le degré Turing est une des mesures de la difficulté de calculer/produire un point. Nous commencerons par une introduction aux sous-shifts et à la calculabilité.

Les arbres de Polya sont une classe de mesures de probabilité aléatoires, qui a été proposée comme loi a priori, dans un cadre bayésien, pour l’estimation de la loi d’un échantillon i.i.d. de variables aléatoires. Dans le cadre du problème de l’estimation de densité, sous certaines conditions les arbres de Polya produisent des loi a posteriori asymptotiquement consistantes au sens de la distance de Hellinger. Dans cet exposé, après avoir présenté quelques propriétés générales des arbres de Polya, nous verrons que le résultat de consistance précédent peut être précisé dans deux directions 1) des vitesses de convergence peuvent être obtenues 2) il est possible de caractériser la forme limite de la loi a posteriori dans un sens fonctionnel. Je présenterai quelques applications à des résultats de type Donsker pour la fonction de répartition a posteriori et à l’étude de certaines fonctionnelles de la densité.

On considère dans cet exposé un système dynamique défini de la façon suivante : l’application est définie sur un rectangle et donnée localement par une isométrie du plan. On s’intéressera aux points qui ont une orbite non périodique, et on calculera la dimension de Hausdorff de cet ensemble.

Il est notoire, et largement accepté, que le domaine de la turbulence des fluides, et plus particulièrement la prédiction des statistiques de la vitesse dans un cadre statistiquement homogène, isotrope et stationnaire, est un domaine difficile. Pourtant, l'approche axiomatique de Kolmogorov, que nous détaillerons allègrement, permet d'interpréter les mesures expérimentales et les simulations numériques dans un cadre cohérent. Nous constaterons alors, avec émotion, que la turbulence des fluides est une machine infernale à dissiper de l'énergie. Nous nous poserons alors la question suivante : peut-on définir rigoureusement un champ aléatoire capable de reproduire les axiomes de Kolmogorov ? Un travail en collaboration avec notamment C. Garban, R. Rhodes et V. Vargas.

Des estimations de résolvante dans les espaces de Lebesgue uniformes par rapport au paramètre spectral ont été prouvées pour la première fois par Kenig, Ruiz et Sogge pour le Laplacien euclidien, et par Shen pour le Laplacien sur le tore. À la suite de ces travaux, ces estimations de résolvante ont été généralisées à des variétés riemanniennes compactes sans bord par Kenig, Salo et moi-même. Dans cet exposé, j’essaierai de montrer comment on peut obtenir de telles estimations par une réduction semiclassique microlocale à des estimées de Strichartz, et que cette méthode est suffisamment souple pour obtenir des estimations pour des perturbations non-autoadjointes d’ordre 1 du Laplacien et de traiter l’opérateur stationnaire des ondes amorties. De telles estimations uniformes de résolvantes on peut déduire des estimations de Carleman avec poids limite dans les espaces de Lebesgue, qui sont utiles dans la résolution de problèmes inverses elliptiques. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Nicolas Burq et Katya Krupchyk.

Comment reconnaître si une courbe tracée sur une surface peut être déformée continûment en une courbe simple, c'est-à-dire sans croisement ? Plus généralement, comment calculer le nombre minimal de croisements parmi toutes les déformations continues de cette courbe ? Après quelques rappels historiques, je présenterai un point de vue algorithmique sur cette question et montrerai que des techniques élémentaires empruntées à la théorie géométrique des groupes permettent d'y répondre efficacement.