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Nous considérons l'équation de Schrödinger avec une non-linéarité logarithmique, dont le signe est tel qu'il n'existe pas de solution stationnaire (non triviale). Des calculs explicites dans le cas de données gaussiennes font apparaître trois phénomènes nouveaux, dans le régime en temps grand : la dispersion est accrue d'un facteur logarithmique en temps, les normes de Sobolev (d'indice positif) croissent logarithmiquement en temps, et après une remise à l'échelle de la fonction inconnue, le module de la solution converge vers une gaussienne universelle (indépendante de la gaussienne initiale). Ces phénomènes persistent pour des données initiales générales (non nécessairement gaussiennes), quitte à considérer une limite faible pour le troisième point. Parmi les étapes de la preuve, nous présenterons une transformée de Madelung permettant de réduire l'équation à une variante de l'équation d'Euler compressible isotherme, dont le comportement en temps long fait intervenir une équation parabolique liée à un opérateur de Fokker-Planck. Il s'agit d'un travail en commun avec Isabelle Gallagher.

La 'marche aléatoire auto-évitante en auto-interaction' (ISAW, en
anglais) est un modèle mathématique introduit pour étudier l'existence
d'une transition de phase d'un polymère dans un environnement répulsif.
Dans ce modèle les configurations du polymère sont décrites par des
trajectoires de la marche auto-évitante. Cependant, la marche aléatoire
auto-évitante est un objet mathématiquement très compliqué. Pour cette
raison, dans la littérature mathématique, le modèle ISAW a été étudié
pour des sous-familles de la marche aléatoire auto-évitante, par exemple
la marche aléatoire auto-évitante partiellement dirigée. Une
généralisation naturelle de la marche auto-évitante partiellement
dirigée est donnée par la 'marche prudente'.
La marche prudente est une sous-famille (non-dirigée) de la marche
auto-évitante où l'on considère seulement les trajectoires qui ne
peuvent pas avoir d'incrément pointant vers un site précédemment visité.
Dans cet exposé je vais présenter les propriétés de la marche prudente
et du modèle ISAW obtenu en considérant des trajectoires prudentes.

Travail en collaboration avec N. Pétrélis et R. Sun ---

Centré sur le mouvement brownien multifractionnaire, cet exposé sera constitué de deux parties.

Dans une première partie, proabiliste, nous étudierons le temps local d’une famille, notée $G$, de processus gaussiens (à laquelle appartient le mouvement brownien fractionnaire mBm). Nous montrerons comment l’emploi de la théorie des distributions stochastiques (White Noise Theory) donne la possibilité de, non seulement redéfinir les temps locaux du mBm, mais encore d’obtenir des formules de temps d’occupation.

La seconde partie de cet exposé, statistique, sera dédié à l’identification du paramètre fonctionnel du mouvement brownien multifractionnaire.

Given an IFS (iterated function system), the question whether its attractor can be obtained as the attractor of another IFS was addressed by Feng and Wang in 2009. In the case of homogeneous IFS of $\mathbb R$ whose contraction maps are affine maps and satisfying the open set condition, they proved that if a subset of $\mathbb R$ is not a finite union of intervals and is the attractor of two different IFS, then the contraction ratios of these two IFS have to be strongly linked. Such a statement resembles very much the theorem of Cobham of 1969, although the two results concern a priori different areas of mathematics. Surprisingly enough, a quite similar result was obtained by Adamczewski and Bell in 2011: A compact subset of $[0, 1]$ is simultaneously $b-$ and $b'-$self-similar if and only if it is a finite union of intervals with rational endpoints. Even more surprisingly, a third similar result was obtained by Boigelot, Brusten and Bruyère in 2010 in a theoretical computer science setting. It concerns subsets of R d whose sets of representations in some integer base are accepted by weak Büchi automata.

The aim of this talk is to show the connections between these three results. This connection is achieved by using GDIFS (graph directed iterated functions systems) and allows us to provide extensions of the results in the three frameworks: Adamcweski and Bell’s result extends to $\mathbb{R}^d$ , Feng and Wang’s result extends to a large class of GDIFS, and the logical characterization of recognizable sets used by Boigelot, Brusten and Bruyère extends to the so-called Pisot real bases.

To quantify the evolution of time-varying networks, and detect abnormal behavior, one needs a notion of temporal difference that captures significant organizational changes between two successive instants.

We propose a family of distances to quantify structural changes occurring on a graph at different scales. We design a randomized algorithm, which scales nearly linearly in the number of edges, to compute an approximation to this novel graph distance.

We demonstrate that temporal changes in this graph distance can be used to detect configurational changes that are directly related to the hidden variables governing the evolution of dynamic networks.

This is work in collaboration with Nathan Monnig, and Peter Wills.

The Ginzburg-Landau model is a phenomenological description of superconductivity. An essential feature of type-II superconductors is the presence of quantized vortices, which appear above a certain value of the external magnetic field called the first critical field. This talk will review some known mathematical tools developed to analyze the vortices, and will provide a new polyhedral approximation of the vorticity measure in three dimensions, which allows one to obtain a new lower bound for the energy and a new vorticity estimate. This construction is at the $\varepsilon$-level and yields optimal estimates. As an application, we will describe the behavior of global minimizers for the three-dimensional Ginzburg-Landau functional below and near the first critical field.

Jetons de manière indépendante et homogène une infinité de boules de rayons aléatoires dans un espace euclidien. Notons S la réunion de ces boules. Voici deux questions :
1) Toutes les composantes connexes de S sont-elles bornées ?
2) Un marcheur se déplace à vitesse 1 en dehors de S et à vitesse infinie dans S. S'il optimise son trajet, le temps nécessaire pour aller de l'origine à un point éloigné x sera-t-il asymptotiquement proportionnel à la norme euclidienne de x ?
On vérifie facilement que si la réponse à la première question (qui porte sur un modèle de percolation) est non, alors la réponse à la deuxième question (qui porte sur un modèle de percolation de premier passage) est également non. Dans cet exposé nous précisons les liens entre ces deux modèles. Travail en collaboration avec Marie Théret.

Liouville conformal field theory (LCFT) is a family of CFTs
which arise in a wide variety of contexts in the physics literature. There
are two main (seemingly unrelated) approaches to LCFT in the physics
literature: one in the Feynman path integral formulation and one in the
conformal bootstrap approach. Recently, we constructed rigorously LCFT in
the Feynman path integral formulation. In this talk, I will present recent
results on the local conformal structure of LCFT in the Feynman path
integral formulation (Ward and BPZ identities, operator product expansion,
etc...). These results are a first step in showing that both approaches in
the physics literature (Feynmam path integral and conformal bootstrap) are
in fact identical.
Based on joint works with F. David, A. Kupiainen and R. Rhodes.