Depuis une quinzaine d'années, des outils venant de l'analyse, en particulier de nouveaux espaces de Banach de distributions anisotropes, ont permis des progrès substantiels en théorie ergodique.

Après avoir brièvement expliqué comment un trou spectral d'un opérateur de transfert fournit des informations ergodiques, nous nous concentrerons sur les billards de Sinai. Ces systèmes naturels sont uniformément hyperboliques et conservent le volume, mais les orbites rasantes donnent lieu à des singularités. De nouveaux outils analytiques nous ont récemment permis d'obtenir (avec M. Demers et C. Liverani) le mélange exponentiel pour les flots billards de Sinai à horizon fini et le volume naturel. Nous terminerons par un travail en cours (avec M. Demers) sur d'autres états de Gibbs (y compris la mesure maximisant l'entropie).