It is interesting to study the topology of the space of smoothly embedded $n$-spheres in $\mathbb R^{n+1}$. By Smale’s theorem, this space is contractible for $n=1$ and by Hatcher’s proof of the Smale conjecture, it is also contractible for $n=2$. These results are of great importance, generalising in particular the Schoenflies theorem and Cerf’s theorem. In this talk, I will explain how mean curvature flow with surgery can be used to study a higher-dimensional variant of these results, proving in particular that the space of two-convex embedded spheres is path-connected in every dimension $n$. We then also look at the space of two-convex embedded tori where the question is more intriguing and the result in particular depends on the dimension $n$. This is all joint work with Robert Haslhofer and Or Hershkovits.

The talk will focus on the following results established with Cyril Lecuire: a finitely generated group quasi-isometric to the fundamental group of a compact $3$–manifold or to a finitely generated Kleinian group contains a finite index subgroup isomorphic to the fundamental group of a compact $3$–manifold or to a finitely generated Kleinian group.

The problem of finding (complete) metrics with constant Q-curvature in a prescribed conformal class is a famous fourth-order cousin of the Yamabe problem. In this talk, I will provide some background on Q-curvature and discuss how several non-uniqueness results for the Yamabe problem can be transplanted to this context. However, special emphasis will be given to multiplicity phenomena for constant Q-curvature that have no analogues for the Yamabe problem, confirming expectations raised by the lack of a maximum principle.

We establish the relationship between the growth rate of periodic orbits and the topological entropy for $T'$ generic vector fields : the extends a classical result of Katok for $T^{1+\alpha}$ ($\alpha>0$) surface diffeomorphisms to $T'$ generic vector fields of any dimension.

A préciser.

Le problème d'écrire un nombre entier comme somme de quatre carrés est une question qui date du XVIIe siècle. Éminemment arithmétique, il a connu de nombreuses preuves et généralisations. Toutefois, ce sont souvent des méthodes ad hoc, ne permettant pas de comprendre fondamentalement la structure des nombres entiers, et ne répondant pas à des problèmes un peu plus précis : combien y a-t-il de telles écritures ? comment sont-elles réparties ? que se passe-t-il pour trois carrés ? etc. Nous présenterons de manière très élémentaire une méthode du siècle suivant, qui se révèle aujourd'hui encore être l'un des outils les plus puissants et omniprésents de la théorie des nombres moderne : lorsque l'on regarde la série génératrice du nombre des solutions au problème, des formes automorphes apparaissent, et tous les résultats tombent sans efforts !

Je présenterai la théorie générale des chaos multiplicatifs a partir de l’article 1987 de Jean-Pierre Kahane. Plusieurs applications seront discutées comme les chaos multiplicatifs gaussiens, le recouvrement aléatoire de Dvoretzky, la convergence presque partout de séries lacunaires et la Bohr-densité des entiers aléatoires sélectionnées à la Bernoulli.