Dans cet exposé, nous examinerons deux questions liées aux signes des valeurs propres de Hecke ou coefficients de Fourier des formes modulaires classiques.
Le premier problème, qui a été considéré par plusieurs auteurs, est de déterminer la taille, en termes du conducteur, du premier changement de signes de valeurs propres de Hecke. Ici, nous améliorons l'estimation d'Iwaniec, Kohnen et Sengupta, en utilisant la théorie des nombres friables.
Le deuxième problème est de savoir dans quelle mesure ces signes, pour des ensembles de nombres premiers, déterminent uniquement la forme modulaire, et nous donnons des résultats individuels et statistiques, en utilisant la théorie de Rankin-Selberg et le grand crible.
C'est un travail commun avec E. Kowalski, Y.-K. Lau et K. Soundararajan.
Le modèle de dimères sur graphe bipartie est un appariement (perfect matching) des sommets du graphe, c'est-à-dire un sous-ensemble d'arêtes qui recouvrent chaque sommet une seule fois. C'est un modèle classique de physique statistique, qui remonte aux travaux de Temperley/Fisher et Kasteleyn dans les années 60.
Un objet central pour le modèle de dimères est une fonction de hauteur introduite par Thurston, qui permet de voir le modèle de dimères comme une surface aléatoire discrète. Je vais expliquer une série de résultats (en collaboration avec Benoit Laslier et Gourab Ray) où nous montrons dans un certain nombre de situations la convergence de cette fonction de hauteur vers une limite universelle et invariante conforme. Cela inclut en particulier le cas de graphes dessinés sur des surfaces de Riemann.
Une idée clef de notre approche est d'exploiter les couplages dits de "géométrie imaginaire" entre champ libre gaussien (GFF) et courbes de Schramm--Loewner Evolution (SLE).
Nous considérons des solutions au système d'Euler 2d incompressible avec une vorticité seulement intégrable, et avec une énergie qui peut être infinie.
Avec une telle régularité, nous utilisons la théorie récente des flots Lagrangiens associés à des champs de vecteurs dont le gradient est donné par l'intégrale singulière d'une fonction intégrable. Cette théorie permet de définir des solutions lagrangiennes, pour lesquelles la vorticité est transportée par le flot.
Nous prouvons la stabilité forte de ces solutions par la convergence forte du flot, sous la seule hypothèse de convergence L1 faible de la vorticité initiale. L'existence de solutions lagrangiennes au système d'Euler s'ensuit pour toute vorticité initiale intégrable. Des relations avec des notions antérieures de solutions sont établies.
Le théorème nodal de Courant dit que l'ensemble nodal de la n-ième fonction propre du Laplacien dans un domaine de R^d délimite au plus n domaines nodaux.
Une note de bas de page dans le volume 1 de Courant-Hilbert indique que ce théorème se généralise à toute combinaison linéaire non triviale des n premières fonctions propres. R.~Courant attribue ce théorème à un de ses élèves en thèse à Gottingen (1926), qui ne semble l'avoir jamais écrit.
V. Arnold a montré que ce théorème impliquait des résultats contradictoires à ceux qu'il obtenait en géométrie algébrique. Après avoir mené l'enquête sur les origines de ce "faux" théorème, nous proposerons des contre-exemples très simples relevant de l'analyse spectrale du Laplacien dans des ouverts simples.
Ce travail a été réalisé en collaboration avec Pierre Bérard (Université de Grenoble).
Les marchés financiers évoluent plus ou moins rapidement et fortement au gré des différents types d’information diffusés au cours des périodes d’étude. Dans ce contexte, nous cherchons à mesurer l’influence de tous types d’information sur des portefeuilles d’arbitrage systématique « euro neutres » multi-classes d’actifs, issus soit d’une diversification « naïve » (« $1/N$ ») soit d’une diversification optimale. Dans le cadre de nos recherches sur l’allocation tactique systématique, ces divers flux informationnels sont regroupés sous le terme de données hétérogènes (données de cotation et « autres informations de marché »). Les données de cotation sont des prix de clôture quotidiens d’actifs tandis que les « autres informations de marché » correspondent à trois types d’indicateurs : de conjoncture, de sentiments et de volatilité. Nous mesurons l’impact d’une combinaison de données hétérogènes sur nos portefeuilles d’arbitrage pour une période de tests incluant la crise des subprimes, à l’aide d’analyses de données (ACP) et de techniques probabilistes de quantification vectorielle. L’influence des données hétérogènes sur les portefeuilles d’arbitrage est mesurée notamment au travers d’une hausse de la rentabilité, d’un accroissement du ratio rentabilité/volatilité post crise des subprimes, d’une baisse de la volatilité ou d’une baisse des corrélations entre classes d’actifs. Ces découvertes empiriques permettent d’envisager la prise en compte des « autres informations de marché » comme élément de diversification du risque d’un portefeuille. Nous formalisons des éléments de réponse au défi posé par l’allocation tactique multi-classes d’actifs (Blitz et Vliet, 2008), en intégrant des variables « prédictives » à un processus systématique de market timing qui incorpore de manière quantitative des données hétérogènes.
Let $\beta > 1$ and the run-length function $r_n(x, \beta)$ be the maximal length of consecutive zeros amongst the first $n$ digits in the $\beta$-expansion of $x \in [0, 1]$. The exceptional set
\[E_\max^\phi = \{ x\in [0,1] : \liminf_{n\rightarrow +\infty} \frac{r_n (x,\beta)}{\phi(n)}=0, \limsup_{n\rightarrow +\infty} \frac{r_n(x,\beta)}{\phi(n)}=+\infty \}\]
is investigated, where $\phi : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}^+$ is a monotonically increasing function with $\lim_{n\rightarrow + \infty} \phi (n)=+\infty$. We prove that the set $E^\phi_\max$ is either empty or of full Hausdorff dimension and residual in $[0, 1]$ according to the increasing rate of $\phi$.
We study the set of $p$-adic Gibbs measures of the $q$-states Potts model on Cayley tree of order three. We prove the vastness of the set of the periodic $p$-adic Gibbs measures for such models by showing the chaotic behavior of the corresponding Potts–Bethe mapping over $\mathbb{Q}_p$ for prime numbers $p ≡ 1 (mod\ 3)$. In fact, for $0 < |\theta − 1|p <|q|^2_p < 1$ where $\theta = exp_p (J)$ and $J$ is a coupling constant, there exists a subsystem that is isometrically conjugate to the full shift on three symbols. Meanwhile, for $0 < |q|^2_p ≤|\theta − 1|_p < |q|_p < 1$, there exists a subsystem that is isometrically conjugate to a subshift of finite type on $r$ symbols where $r ≥ 4$. However, these subshifts on $r$ symbols are all topologically conjugate to the full shift on three symbols.
