This talk deals with elliptic problems of the form (SP)
$$
\begin{cases}
−\Delta u + V(x)u + K(x)\phi(x)u = u^p,\\
−\Delta\phi = K(x)u^2,\\
u(x) > 0, x \in \mathbb R^3
\end{cases}
$$
where $K\ge 0$ and $V \ge V_\infty\ge 0$, $V(x)\to V_\infty$ as $|x|\to \infty$.

The model (SP) describes some physical problems, for example electrostatic situations in which the interaction between an electrostatic field and solitary waves has to be considered. We examine both the subcritical case $p\in(3, 5)$ and the critical case $p = 5$ and analyse the different situations that occur. In particular, in the critical case problem (SP) exhibits a “double” lack of compactness because of the unboundedness of $\mathbb R^3$ and the critical growth of the nonlinear term. Let us remark that ground state solutions of (SP) do not exist in our assumptions. We show some existence results of bound state solutions in both cases. When $K\equiv 0$ and $p = 5$ problem (SP) reduces to a critical Schrödinger equation, for which we get a new result.

These are joint works with Giovanna Cerami.

Dans cet exposé en deux parties, on commence par prouver un résultat d'unicité linéaire pour des solutions faibles d'équations de transport-diffusion possédant un peu d'intégrabilité. Ce premier théorème s'inscrit dans la lignée de la théorie de DiPerna-Lions, dont on rappellera les grandes lignes. Dans une deuxième partie, on utilise ce résultat d'unicité et ses variantes pour démontrer la régularité complète (lisse) d'une solution de l'équation de Navier-Stokes (incompressible, homogène) dont une seule composante satisfait une hypothèse de régularité critique pour l'échelle de l'équation.

On introduira la notion de milieu fractal du à la turbulence dans l’espace de vitesses. Cette notion permet de montrer que l’évolution de particules test dans ce milieu peut se décrire par une équation de Schrodinger mais avec des coefficients au niveau macroscopique. On montrera que cette approche permet de prédire et d’expliquer l’intermittence Lagrangienne qui est bien observée dans les expériences.

A partir de la restriction d’un champ libre gaussien (GFF) au cercle unité on peut définir la mesure de chaos multiplicatif gaussien (GMC) dont la densité est donnée formellement par l’exponentielle du GFF. En 2008 Fyodorov et Bouchaud ont conjecturé la valeur des moments de la masse totale du GMC intégré sur le cercle unité. Dans cet exposé on donnera une preuve de ce résultat. La méthode s’inspire de la démonstration par Kupiainen, Rhodes et Vargas de la formule DOZZ pour la théorie de Liouville sur la sphère. Dans notre cas il faudra cependant travailler sur un domaine avec bord: le disque unité. Enfin on présentera des applications aux matrices aléatoires, au maximum du GFF et aux estimées de queue pour le GMC.

Si une fonction est dans un certain espace de Besov, son développement en série d’ondelettes ne peut pas, en un point donné, diverger trop vite ou converger trop lentement (ceci dépendant de la régularité des fonctions dans cet espace). On donnera dans cet exposé des bornes sur la dimension de Hausdorff et de packing de l’ensemble des points où ce développement diverge (ou converge) à une vitesse donnée. Nous montrerons aussi que ces bornes sont génériquement optimales.

A sequence $(a_n)$ of integers is called divisible, if $n\mid m$ implies $a_n\mid a_m$. We consider a weaker terminology: "mean divisibility" and give non-trivial examples which satisfy the property. A typical result is
$$
\forall m\geq 1, \forall k\geq 1, \qquad \frac{\prod_{n=1}^{m} {2kn \choose kn}}{\prod_{n=1}^{m} {2n \choose n}}
\in \mathbb{Z}.
$$
We explain the underlying idea of the proof, which involves an interesting statistical behavior of an arithmetic function.

Le but de l'exposé est d'analyser l'unicité des minimiseurs de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau définie pour des fonctions vectorielles avec une donnée au bord qui est positive dans une direction fixée.
En particulier, nous montrons dans le cas où les minimiseurs ne sont pas uniques, que l'ensemble des minimiseurs est généré par un de ses éléments en utilisant une certaine classe de transformations orthogonales. Nous discuterons aussi des résultats similaires pour les fonctions harmoniques à valeurs dans la sphère.

C'est un travail en collaboration avec L. Nguyen (Oxford), V. Slastikov (Bristol) et A. Zarnescu (Bilbao).