Les graphes de Barak-Erdös sont une variante orientée et acyclique des
graphes d'Erdös-Rényi : l'ensemble des sommets est {1,...,n} et pour toute
paire i < j, avec probabilité p on ajoute une arête orientée de i vers j,
indépendamment pour chaque paire i < j. La longueur du plus long chemin dans
les graphes de Barak-Erdös croît linéairement avec le nombre de sommets et
le taux de croissance C(p) est une fonction de la probabilité p de
présence d'une arête.

Foss et Konstantopoulos ont introduit un couplage entre les graphes de
Barak-Erdös et un cas particulier d'un système de particules en
interaction appelé "modèle infini d'urnes". En utilisant ce couplage, nous
prouvons certaines propriétés de C(p) : analyticité pour p proche de 1,
existence d'une dérivée première et absence de dérivée seconde en p=0
(travail en commun avec Bastien Mallein).

Si le temps le permet, j'aborderai des propriétés du modèle infini d'urnes
dans le cas général, telles que le gel et l'existence de transitions de
phases (collaboration avec Ksenia Chernysh et Bastien Mallein).