On étudie la dynamique d'une équation de type Schrödinger sur le cercle pour laquelle il n'y a aucun phénomène de dispersion. On se ramène à l'étude de l'équation de Szegö cubique qui peut être vue comme la forme normale de l'équation. L'équation de Szegö cubique fournit un exemple de système hamiltonien totalement intégrable mais assez dégénéré. On caractérise notamment les ondes stationnaires et leur instabilité. Il s'agit d'un travail en commun avec P. Gérard.

Let $([0,1], T_{\beta})$ be the beta-dynamical system for $\beta>1$. For any $x, y\in [0,1]$, write

$d_n(x;y):=d(T^n_{\beta}(x), y)$

to measure the distance of the $n$-th orbit $T^n_{\beta}(x)$ of $x$ to the point $y$. This talk is devoted to investigating the size of following recurrence set and shrinking target problem

$R(\psi, T_{\beta}):=\big\{x: d_n(x; x)<\psi(n, x), \text{i.o.}\ n\in \mathbb{N}\big\},$
$S(\psi, T_{\beta}, y):=\big\{x: d_n(x; y)<\psi(n, x), \text{i.o.}\ n\in \mathbb{N}\big\},$

where $\psi$ is some positive function given in advance. Among them, some algebraic and geometric properties shared by $\beta$-expansion are also investigated to serve for the main results.