Nous présenterons la construction de variétés de dimension $3$ contractiles et non homéomorphes à $\mathbb{R}^3$ (les variétés de Whitehead). La géométrie Riemannienne de celles-ci est (presque) totalement inconnue. Nous décrirons les problèmes et quelques résultats positifs. Cet exposé sera accessible à un large public et sera centré sur des questions ouvertes.