Cet exposé portera sur des propriétés géométriques des solutions positives de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques semi-linéaires dans des domaines bornés convexes ou des anneaux convexes, avec des conditions au bord de type Dirichlet. Une solution est dite quasiconcave si ses ensembles de niveau supérieurs sont convexes. Je présenterai deux contre-exemples, c’est-à-dire deux cas d’équations elliptiques semi-linéaires qui admettent des solutions positives qui ne sont pas quasiconcaves, dans certains ouverts convexes ou dans certains anneaux convexes. Cet exposé repose sur des travaux en collaboration avec N. Nadirashvili et Y. Sire.