Dans cette thèse, nous nous intéresserons à l'approximation numérique en loi des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Ces équations peuvent être vues comme une généralisation du concept d'équations aux dérivées partielles (EDP) déterministes, équations servant à modéliser de nombreux phénomènes physiques, biologiques ou encore économiques. L'aspect stochastique apparaît avec la volonté de prendre en compte des données que l'on ne connaît pas de façon déterministe et dont nous avons uniquement des informations statistiques. Ces données peuvent être aussi bien un coefficient de l'équation qu'un terme de force.La discrétisation de cette source d'information bruitée pose le problème de leur troncature.
Une première méthode populaire (Monte Carlo) consiste à simuler le bruit afin d'obtenir une famille de trajectoires du bruit, puis à résoudre pour chacune de ces trajectoires l'équation associée, afin de pouvoir faire des statistiques sur l'ensemble des solutions obtenues. Elle offre l'avantage d'être relativement simple à mettre en œuvre, mais se pose alors des problèmes de lenteur de convergence dus au coût unitaire des intégrations numériques de chaque trajectoire qui dépend en général de la méthode déterministe utilisée, de la dimension du problème et de la variance des moments que l'on souhaite estimer.
Une deuxième approche est, dans la philosophie des méthodes spectrales, la décomposition du bruit sur une base polynomiale adaptée à une mesure de référence (ici la mesure de Wiener). C'est la méthode principalement dans cette thèse. Nous décrirons comment à l'aide d'une décomposition dite en chaos il est possible d'obtenir des statistiques de solutions d'EDPS, mais également comment on peut se servir d'une telle décomposition afin de réduire la variance dans une méthode de Monte Carlo.