Les équations différentielles stochastiques, comme les équations différentielles ordinaires, ne possèdent pas toutes un solution explicite. Néanmoins, nous avons des résultats sur leur comportement en temps long.

Après un bref rappel sur le mouvement Brownien (historique + propriétés importantes), nous étudierons certains processus de diffusions, les processus de Kolmogorov, régis par l'EDS suivante
\[\mathrm{d}X_t=\sqrt{2}\mathrm{d} B_t-\nabla U(X_t)\mathrm{d} t.\]
Nous tâcherons d'obtenir des critères sur la convergence à l'équilibre de ces processus.

On étudiera plus particulièrement le processus d'Ornstein Uhlenbeck, processus régi par l'EDS
\[\mathrm{d} X_t=\sqrt{2}\mathrm{d} B_t-X_t\mathrm{d} t,\]
où les calculs ont l'avantage d'être complètement explicites.