Considrons l’application de Gauss
$$
\begin{align*}
T : \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&\to \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\\
x&\mapsto \{1/x\},
\end{align*}
$$
où $\{\cdot\}$ désigne la fonction partie fractionnaire, et $(T^k)_{k\ge 0}$ la suite de ses itérées. Dans ce travail, nous caractérisons les points de Lebesgue de la fonction de $L^1 (\mathbb{R})$,
$$
W (x) =\sum_{n\ge1}(-1)^nxT(x)\cdots T^{n-1}(x)\log(1/T^n(x))
$$
Cette série, introduite par Wilton en 1933, est intimement liée la série de Davenport $\sum_{n\ge 1}\frac{B(nx)}n$ , $B$ désignant la première fonction de Bernoulli normalisée. Ce travail nous permet de déterminer les points de dérivabilité de la fonction
$$
A(x) =\int_0^\infty \{xt\}\{t\} \frac{dt}{t^2},
$$
introduite en 2004 par Báez-Duarte, Balazard, Landreau et Saias dans le cadre de l’étude du critère de Nyman pour l’hypothèse de Riemann.

Il s’agit d’un travail commun avec Michel Balazard (Institut de Mathématiques de Marseille).