Cette intervention a pour but d’ouvrir un dialogue avec les mathématiciens du séminaire, de proposer des sujets nouveaux et d’ouvrir des perspectives sur les champs d'application des multifractales aux phénomènes urbains.
Les travaux récents de l’Institut des Morphologies Urbaines ainsi que ceux de la recherche internationale montrent l’universalité des fractales dans le monde urbain, dans un sens plus riche que celui souvent utilisé. En considérant les villes comme une tache noire découpée dans un espace à 2 dimensions et en se concentrant sur le rapport entre les bords et l'intérieur ou entre les pleins et les vides, certaines approches fractales des villes réduisent la complexité du phénomène urbain à son ombre. La réalité des villes est plus complexe que la projection de l’emprise de leur bâti sur un plan. Celles-ci sont des espaces de relations sociales et économiques à différentes échelles, dont les dynamiques font apparaître des phénomènes émergents de type multifractal. Si on spatialise des paramètres urbains comme la densité démographique locale, ou la densité énergétique, ou des paramètres descriptifs des réseaux, ou encore les prix du foncier, on voit apparaitre l'équivalent d'un paysage multifractal en trois dimensions.
Les valeurs moyennes de la densité démographique, énergétique, économique n'ont guère de sens. Les phénomènes urbains n'obéissent pas à des régularités gaussiennes mais présentent des variations extrêmes distribuées selon des lois de puissance inverse. Des analyses de distribution de type rang taille permettent d'étendre à des échelles intra-urbaines un certain nombre d'acquis de l'économie géographique sur la loi rang taille des systèmes urbains (Zipf).
Les travaux récents de l’Institut des Morphologies Urbaines montrent par exemple que l'énergie de transport dans 34 villes européennes a une faible élasticité à la densité démographique moyenne mais dépendent presque entièrement de la distribution de cette densité avec une élasticité positive à l'entropie de la distribution (au sens de Shannon) et une élasticité négative au coefficient de hiérarchisation de la distribution (exposant de la loi de puissance inverse). D’autres travaux ont montré la distribution fractale du parcellaire dans différentes villes, ou encore celle des prix du foncier et de leurs variations dans le temps.
Ces exemples posent à la recherche des questions nouvelles. Un cadre d’analyse multifractal rend certainement mieux compte des dynamiques urbaines que celui de l’économie urbaine classique fondée sur des régularités gaussiennes. Ce cadre reste cependant largement à construire faute de travaux mathématiques rigoureux prenant en compte à la fois le caractère spatial tridimensionnel des distributions des paramètres urbains et leurs variations temporelles. La construction d’un tel cadre permettrait de répondre de manière plus précise, à des échelles multiples, et sur des séries temporelles
longues, à des questions importantes pour le développement urbain actuel, comme les liens entre la forme urbaine et l’énergie, ou la distribution de la création de richesse, ainsi que celle des prix du foncier et leur volatilité.