La régularité Hölderienne des processus de Lévy n’a été obtenue que récemment, par S. Jaffard (1999). Cet article a mis en évidence le caractère multifractal de cette classe de processus, et a ainsi identifié précisément la forme du spectre des trajectoires :
$$
d_X(h)=\begin{cases}\beta h& \text{si } h\in[0,1/\beta]\\ -\infty& \text{sinon}\end{cases}
$$
où $\beta$ correspond à l’exposant de Blumenthal-Getoor du processus de Lévy $X$.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au raffinement de ce résultat à l’aide de l’analyse $2$-microlocale. Ce cadre d’étude fournit un outil d’analyse de la régularité, la frontière $2$-microlocale, qui permet de donner un aperçu plus précis des propriétés trajectorielles, notamment par rapport aux exposants de Hölder ponctuel et local généralement utilisés dans la littérature. Nous verrons donc en quoi la combinaison de la frontière $2$-microlocale et de l’analyse multifractale permet de généraliser le spectre des processus de Lévy, et ainsi de mettre en évidence et d’étudier des comportements qui ne sont pas directement captés par ce dernier.

Dans une deuxième partie, nous détaillerons les implications de ce résultat dans le contexte de l’étude des propriétés trajectorielles de processus fractionnaires de Lévy (comprenant notamment le linear fractional stable motion).