Let $\beta > 1$ and the run-length function $r_n(x, \beta)$ be the maximal length of consecutive zeros amongst the first $n$ digits in the $\beta$-expansion of $x \in [0, 1]$. The exceptional set
\[E_\max^\phi = \{ x\in [0,1] : \liminf_{n\rightarrow +\infty} \frac{r_n (x,\beta)}{\phi(n)}=0, \limsup_{n\rightarrow +\infty} \frac{r_n(x,\beta)}{\phi(n)}=+\infty \}\]
is investigated, where $\phi : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}^+$ is a monotonically increasing function with $\lim_{n\rightarrow + \infty} \phi (n)=+\infty$. We prove that the set $E^\phi_\max$ is either empty or of full Hausdorff dimension and residual in $[0, 1]$ according to the increasing rate of $\phi$.
We study the set of $p$-adic Gibbs measures of the $q$-states Potts model on Cayley tree of order three. We prove the vastness of the set of the periodic $p$-adic Gibbs measures for such models by showing the chaotic behavior of the corresponding Potts–Bethe mapping over $\mathbb{Q}_p$ for prime numbers $p ≡ 1 (mod\ 3)$. In fact, for $0 < |\theta − 1|p <|q|^2_p < 1$ where $\theta = exp_p (J)$ and $J$ is a coupling constant, there exists a subsystem that is isometrically conjugate to the full shift on three symbols. Meanwhile, for $0 < |q|^2_p ≤|\theta − 1|_p < |q|_p < 1$, there exists a subsystem that is isometrically conjugate to a subshift of finite type on $r$ symbols where $r ≥ 4$. However, these subshifts on $r$ symbols are all topologically conjugate to the full shift on three symbols.
Dans cette exposé, j'essaierai de présenter le travail récent de Irie, Marques et Neves (https://arxiv.org/abs/1710.10752) sur l'existence d'une infinité de surfaces minimales pour une métrique générique. Je présenterai les différents outils utilisés : loi de Weyl, théorème de compacité, "bumpiness" de la métrique.
We prove a large deviation result for return times of the orbits of a dynamical system in a r-neighbourhood of an initial point x. Our result may be seen as a dierentiable version of the work by Jain and Bansal who considered the return time of a stationary and ergodic process defined in a space of infinite sequences.
This talk deals with elliptic problems of the form (SP)
$$
\begin{cases}
−\Delta u + V(x)u + K(x)\phi(x)u = u^p,\\
−\Delta\phi = K(x)u^2,\\
u(x) > 0, x \in \mathbb R^3
\end{cases}
$$
where $K\ge 0$ and $V \ge V_\infty\ge 0$, $V(x)\to V_\infty$ as $|x|\to \infty$.
The model (SP) describes some physical problems, for example electrostatic situations in which the interaction between an electrostatic field and solitary waves has to be considered. We examine both the subcritical case $p\in(3, 5)$ and the critical case $p = 5$ and analyse the different situations that occur. In particular, in the critical case problem (SP) exhibits a “double” lack of compactness because of the unboundedness of $\mathbb R^3$ and the critical growth of the nonlinear term. Let us remark that ground state solutions of (SP) do not exist in our assumptions. We show some existence results of bound state solutions in both cases. When $K\equiv 0$ and $p = 5$ problem (SP) reduces to a critical Schrödinger equation, for which we get a new result.
These are joint works with Giovanna Cerami.
La plupart des réseaux sociaux décrivent des échanges entre des individus, échanges se faisant par l'intermédiaire de textes. C'est en particulier le cas des réseaux de type Facebook ou Twitter, mais également des réseaux d'emails. Or, de manière tout à fait surprenante, les outils d'analyse de réseaux, qui ont pourtant été souvent motivés par des questions pratiques en sciences sociales, modélisent pour la plupart ces réseaux de manière binaire. Autrement dit, l'information de texte échangé disparaît et seules les présences ou absences de connexions entre individus sont retenues comme source de données. De plus, les échanges dans les réseaux sociaux sont généralement stockés sous la forme d'interactions. Deux individus interagissent à un temps précis qui est enregistré. Ces données sont donc dynamiques par nature. Nous proposons donc le dynamic stochastic topic block model ainsi qu’une procédure d’inférence associée permettant l’analyse conjointe d’un réseau dynamique en temps discret et d’un ensemble de textes portés par les connexions du réseau. Nous mettons en avant l’utilisation d’une variable pivot autorisant les analyses alternées du réseau et du corpus associé. Un critère de sélection de modèles est dérivé afin d’estimer le nombre de thèmes de discussions et le nombre de clusters d’individus. Nous illustrons nos résultats sur des données simulées ainsi que sur la base de données d’emails du scandale Enron.
Dans cet exposé en deux parties, on commence par prouver un résultat d'unicité linéaire pour des solutions faibles d'équations de transport-diffusion possédant un peu d'intégrabilité. Ce premier théorème s'inscrit dans la lignée de la théorie de DiPerna-Lions, dont on rappellera les grandes lignes. Dans une deuxième partie, on utilise ce résultat d'unicité et ses variantes pour démontrer la régularité complète (lisse) d'une solution de l'équation de Navier-Stokes (incompressible, homogène) dont une seule composante satisfait une hypothèse de régularité critique pour l'échelle de l'équation.
On introduira la notion de milieu fractal du à la turbulence dans l’espace de vitesses. Cette notion permet de montrer que l’évolution de particules test dans ce milieu peut se décrire par une équation de Schrodinger mais avec des coefficients au niveau macroscopique. On montrera que cette approche permet de prédire et d’expliquer l’intermittence Lagrangienne qui est bien observée dans les expériences.
