Le modèle de graphe géométrique est un modèle latent où la probabilité de connecter deux sommets d’un graphe dépend de la distance entre deux points latents (non-observés) représentant ces sommets. Dans cet exposé, on montrera qu'à partir de la seule observation du graphe, on peut estimer la fonction qui gouverne les probabilités de connexion. On utilisera pour cela la convergence du spectre d'un opérateur à noyau vers celui de l’opérateur intégral le représentant, ainsi que des outils d'analyse harmonique sur la sphère. On présentera également des simulations.
We consider Hawkes processes on the positive real line exhibiting both self-excitation and inhibition. Each point of the Hawkes process impacts the intensity of the random point process by the addition of a signed reproduction function. The case of a non-negative reproduction function corresponds to self-excitation; it has been largely investigated in the literature and is well understood. In particular, there then exists a cluster representation of the self-excited Hawkes processes which allows to apply results known for continuous-time age-structured Galton-Watson trees to these random point processes. In the case we study, the cluster representation is no longer valid, and we use renewal techniques. We establish limit results for Hawkes process with signed reproduction functions, notably generalizing exponential concentration inequalities proved by Reynaud-Bouret and Roy (2007) for non-negative reproduction functions. An important step is to establish the existence of exponential moments for the distribution of renewal times of M/G/1 queues that appear naturally in our problem.
This is a joint work with M. Costa C. Graham and L. Marsalle.
Avec T.Downarowicz nous avons introduit la notion de générateurs uniformes pour un système dynamique topologique discret $(X,T)$ :
ce sont des partitions boréliennes finies $P$ dont le diamètre des itérées $\bigvee_{k=-n}^nT^{-k}P$ tend vers $0$. Dans un travail
en cours je développe une théorie similaire pour les flots. Pour cela on plonge tout d'abord fidèlement le flot dans un flot spécial
au dessus d'un système zéro-dimensionel à l'aide d'une propriété de petits bords pour les flots. Puis on relie les propriétés
d'expansivité entropiques du flot suspendu avec celles du système discret sur la base. Enfin on représente le flot avec une fonction
toit à deux valeurs en adaptant la méthode de Rudolph.
Dans cette exposé, j'essaierai de présenter le travail récent de Irie, Marques et Neves (https://arxiv.org/abs/1710.10752) sur l'existence d'une infinité de surfaces minimales pour une métrique générique. Je présenterai les différents outils utilisés : loi de Weyl, théorème de compacité, "bumpiness" de la métrique.
Dans un article de 1984, Robert Bryant a montré à l'aide de la construction d'une forme quartique holomorphe ainsi que du théorème de Riemann-Roch, que les sphères de Willmore dans la sphère de dimension 3, en dehors des sphères minimales équatoriales, étaient les images inverses par la projection stéréographique des éléments d'une famille spéciale de surfaces minimales de courbure totale finie de l'espace euclidien. Il existe un résultat analogue pour les immersions dans la sphère de dimension 4 dû à Sebastián Montiel.
Cependant, les sphères de Willmore qui apparaissent comme solutions de problèmes de min-max peuvent a priori avoir des points de branchement, et la forme quartique de Bryant est alors seulement méromorphe et semble avoir des pôles d'ordre 2 aux points de branchement. D'après le théorème de Riemann-Roch, l'espace des formes quartiques sur la sphère possédant plus de 4 pôles d'ordre 2 étant non-trivial, la classification ne s'étend pas directement.
Nous montrons dans un travail en collaboration avec Tristan Rivière que les classifications précédentes se généralisent aux immersions branchées. On en déduit en particulier que la largeur des min-max portant sur les sphères de Willmore est quantifiée par $4\pi$.
