A partir de la restriction d’un champ libre gaussien (GFF) au cercle unité on peut définir la mesure de chaos multiplicatif gaussien (GMC) dont la densité est donnée formellement par l’exponentielle du GFF. En 2008 Fyodorov et Bouchaud ont conjecturé la valeur des moments de la masse totale du GMC intégré sur le cercle unité. Dans cet exposé on donnera une preuve de ce résultat. La méthode s’inspire de la démonstration par Kupiainen, Rhodes et Vargas de la formule DOZZ pour la théorie de Liouville sur la sphère. Dans notre cas il faudra cependant travailler sur un domaine avec bord: le disque unité. Enfin on présentera des applications aux matrices aléatoires, au maximum du GFF et aux estimées de queue pour le GMC.

Si une fonction est dans un certain espace de Besov, son développement en série d’ondelettes ne peut pas, en un point donné, diverger trop vite ou converger trop lentement (ceci dépendant de la régularité des fonctions dans cet espace). On donnera dans cet exposé des bornes sur la dimension de Hausdorff et de packing de l’ensemble des points où ce développement diverge (ou converge) à une vitesse donnée. Nous montrerons aussi que ces bornes sont génériquement optimales.

La conférence a pour but d'évoquer quelques questions de culture scientifique à partir de la vie et de l’œuvre de ce jeune garçon mort à l'âge de vingt ans et sept mois en 1832 au début de la monarchie de juillet. Par exemple, Évariste Galois écrit qu'il fait « l'analyse de l'analyse », qu'entend-t-il par là ? On voit généralement assez bien ce que sont la géométrie et l'algèbre, mais finalement qu'est-ce que cette «analyse » mathématique ? D'où vient ce terme ? Pourquoi ne parle-t-on pas de synthèse mathématique ?

A la fin du 19ème siècle sont apparues deux notions, la topologie (les ouverts, les fermés) et la mesure, qui seront des fondements pour l'Analyse du 20ème siècle, et des figures imposées de l'enseignement mathématiques universitaire. A partir d'un exemple où intervient le fameux ensemble triadique de Cantor, je montrerai que les mathématiciens de l'époque ont parfois eu avec ces objets, nouveaux pour eux, les mêmes difficultés que les étudiants du 21ème siècle. Cesrtains de ces mathématiciens ont même publié des théorèmes faux, en particulier sur l'extension du théorème des accroissements finis. J'essaierai de préciser quand et comment les avancées significatives se sont produites. J'aurai donc à parler de quelques uns des acteurs des années 1970-1900 : Weierstrass, Cantor, Borel et Lebesgue, parmi beaucoup d'autres.

Dans les années 1920, le grand mathématiciens allemand a formulé un important programme de recherches relatif aux fondements des mathématiques. Destiné notamment à s'assurer, après l'épisode des paradoxes de la théorie des ensembles, qu'aucune contradiction n'était capable de menacer les mathématiques, ce programme est à l'origine lointaine d'une bonne part de la logique mathématique contemporaine (théorie de la démonstration). L'exposé présentera le programme, la manière dont il a été affecté par les résultats d'incomplétude de Gödel (1931) et essaiera d'évaluer ce qu'il a encore d'actuel aujourd'hui.

Depuis une vingtaine d'années les historiens des sciences ont étudié le rôle de la seconde guerre mondiale dans l'évolution de la physique et de la biologie. Ils ont mis en évidence les changements de comportements sociaux et culturels qui en ont découlé. Mon exposé s'intéressera de manière analogue au cas des mathématiques. J'aborderai le mobilisation des mathématiciens et l"essor de nouveaux champs mathématiques appliquées au cours de la guerre et comment la situation a évolué au cours des années de guerre froide. En particulier, une figure de mathématicien socialement (et culturellement) différente émerge, dont John Von Neumann est l'exemple paradigmatique. J'évoquerai aussi les formes du conflit entre mathématiques pures et mathématiques appliquées aux États-Unis.

Les mathématiciens ont longtemps éprouvé une grande méfiance à l'égard de l'infini, d'Aristote pour qui un objet n'existe que s'il peut être construit, à Gauss pour qui l'infini n'était qu'une "façon de parler". Mais le mathématicien Georg Cantor, au milieu du 19ème siècle, a tout bouleversé, en leur montrant par exemple qu'il existait plusieurs infinis, et qu'il y a plus de points sur une droite que de nombres entiers. Nous verrons pourquoi il a considéré ces questions, comment il y a répondu, et quelles ont été les réactions de la communauté mathématique. Nous aborderons aussi quelques aspects de la théories des ensembles, et en particulier l'axiome du choix et son statu très particulier de créateur de monstres.