A la fin du 19ème siècle sont apparues deux notions, la topologie (les ouverts, les fermés) et la mesure, qui seront des fondements pour l'Analyse du 20ème siècle, et des figures imposées de l'enseignement mathématiques universitaire. A partir d'un exemple où intervient le fameux ensemble triadique de Cantor, je montrerai que les mathématiciens de l'époque ont parfois eu avec ces objets, nouveaux pour eux, les mêmes difficultés que les étudiants du 21ème siècle. Cesrtains de ces mathématiciens ont même publié des théorèmes faux, en particulier sur l'extension du théorème des accroissements finis. J'essaierai de préciser quand et comment les avancées significatives se sont produites. J'aurai donc à parler de quelques uns des acteurs des années 1970-1900 : Weierstrass, Cantor, Borel et Lebesgue, parmi beaucoup d'autres.