In this talk, we will try to argue and to show through fundamental examples that (a very huge class of) marginally trapped surfaces arise naturally from a ‘lightlike co-contact structure’, exactly in the same way as Legendrian fronts arise from a contact one (by projection of a Legendrian submanifold to the base of a Legendrian fibration), and that there is an adjunction relationship between both notions. We especially focus our interest on marginally trapped hedgehogs and study their relationships with Laguerre geometry and Brunn-Minkowski theory.

A sequence $(a_n)$ of integers is called divisible, if $n\mid m$ implies $a_n\mid a_m$. We consider a weaker terminology: "mean divisibility" and give non-trivial examples which satisfy the property. A typical result is
$$
\forall m\geq 1, \forall k\geq 1, \qquad \frac{\prod_{n=1}^{m} {2kn \choose kn}}{\prod_{n=1}^{m} {2n \choose n}}
\in \mathbb{Z}.
$$
We explain the underlying idea of the proof, which involves an interesting statistical behavior of an arithmetic function.

Le but de l'exposé est d'analyser l'unicité des minimiseurs de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau définie pour des fonctions vectorielles avec une donnée au bord qui est positive dans une direction fixée.
En particulier, nous montrons dans le cas où les minimiseurs ne sont pas uniques, que l'ensemble des minimiseurs est généré par un de ses éléments en utilisant une certaine classe de transformations orthogonales. Nous discuterons aussi des résultats similaires pour les fonctions harmoniques à valeurs dans la sphère.

C'est un travail en collaboration avec L. Nguyen (Oxford), V. Slastikov (Bristol) et A. Zarnescu (Bilbao).

Si $X$ est une variété riemannienne compacte, chaque classe d’homologie singulière à coefficients entiers admet un représentant sous forme de courant entier minimiseur de masse. Je ferai un bref exposé de ce résultat dû à H. Federer et W.H. Fleming, les ingrédients principaux étant le théorème de compacité et l’inégalité isopérimétrique sur la variété X. Le but est d’étendre ce résultat à des espaces singuliers $X$.

Si $X$ est une variété singulière, par exemple un ensemble semi-algébrique ou sous-analytique global, alors l’inégalité isopérimétrique usuelle est en défaut. Je mentionnerai un résultat en collaboration avec R. Hardt au sujet d’une inégalité isopérimétrique linéaire.

Ensuite j’introduirai une classe plus vaste d’objets singuliers, des courants entiers vérifiant certains axiomes, qui inclut les ensembles définissables dans des structures o-minimales, et sur lesquels sont bien définies des fonctions à variation bornée. Si le courant sous-jacent est indécomposable, on démontre une inégalité de Poincaré-Wirtinger linéaire et par le biais d’une formule de la coaire, une inégalité isopérimétrique linéaire s’ensuit, ainsi que l’existence d’hypersurfaces minimisant la masse dans leur classe d’homologie.

There is a classical connection between Riesz-potentials, Riesz-energies and Hausdorff dimension. Otto Frostman (Lund) proved in his thesis that if $E$ is a set and $\mu$ is a measure with support in $E$, then the Hausdorff dimension of $E$ is at least $s$ if the $s$-dimensional Riesz-energy of $\mu$ is finite. I will first recall Frostman’s result and some of its applications. I will then mention some new methods where Hausdorff dimension is calculated using potentials and energies with inhomogeneous kernels. Some applications are in stochastic geometry and dynamical systems.

Nous proposons dans cet exposé, la dérivation d'un modèle hydrodynamique 2D décrivant un disque d'accrétion en astrophysique à partir de la formulation 3D.
Il s'agit d'une application de la procédure de réduction dimensionnelle introduite récemment par Maltese et Novotny (2014). La méthode revient à utiliser un scaling permettant de passer à la limite dans les équations de Navier-Stokes compressibles et d'identifier deux régimes limites possibles suivant la valeur du nombre de Froude, en introduisant une inégalité d'entropie relative.