Let $M$ be a manifold with pinched negative sectional curvature. We show that, when $M$ is geometrically finite and the geodesic flow on $T^1M$ is topologically mixing, the set of mixing invariant measures is dense in the set $P(T^1M)$ of invariant probability measures. This implies that the set of weak-mixing measures which are invariant by the geodesic flow is a dense $G_\delta$ subset of $P(T^1M)$. We also show how to extend these results to geometrically infinite manifolds with cusps or with constant negative curvature.

Dans une première partie on montrera une caractérisation de la courbure scalaire d'une variété riemannienne lisse de dimension n, basée sur le contrôle asymptotique de la distance maximale entre $(n+1)$ points dans des petits voisinages d'un centre donné. Puisque cette caractérisation ne dépend que de la fonction distance, elle pourrait être utilisée pour introduire une notion de courbure scalaire (minorée) pour des espaces métriques singuliers.

Dans la deuxième partie de cet exposé on abordera ce problème. On se concentrera en particulier sur les surfaces à courbure intégrale bornée et sur les espaces d'Alexandrov en dimension supérieure.

Un des problèmes les plus célèbres en théorie des opérateurs et à ce jour encore est le problème du sous-espace invariant (PSI) que l'on peut formuler ainsi : soit $T$ une application linéaire et continue sur un espace de Hilbert $H$ (complexe et séparable), existe-t-il toujours un sous-espace vectoriel fermé non trivial $M$ de $H$ tel que $T(M)$ inclus dans $M$ ?

Nous verrons quelques résultats remarquables liés à ce problème et nous verrons des exemples d'opérateurs dit de composition, très simples, dont l'étude
est équivalente à la résolution du PSI.

Les solutions expansives d'une équation d'évolution donnée créent éventuellement une ambiguité lorsque l'on veut prolonger le flot après une singularité en temps fini. Dans cet exposé, nous étudions la possibilité de lisser instantanément une application de la n-sphère, n>1, à valeurs dans une variété fermée riemannienne, homotope à une constante par une solution auto-similaire du flot d'applications harmoniques. Pour ce faire, nous introduisons à la manière de Chen-Struwe, une famille à un paramètre d'équations de type Ginzburg-Landau ayant la même homogénéité. Une fois l'existence d'expansifs pour cette famille d'équations d'évolution acquise, nous passons à la limite. Nous étudions également l'ensemble singulier ainsi que la question de l'unicité de telles solutions. (travail en collaboration avec Tobias Lamm)

On étudiera l'équation des graphes des surfaces minimales dans l'espace d'Heisenberg. On montrera que leur géométrie est contrainte à l'infini. Cela nous donnera une notion de régularité à l'infini et la possibilité de poser un problème de type Nitsche pour les anneaux minimaux.

Considérons un grand ensemble de particules, qui interagissent entre elles uniquement par le champ gravitationnel collectif qu'elles produisent. En mécanique Newtonienne, on décrit classiquement un tel système à l'aide des équations de Vlasov-Poisson, tandis que dans le cadre de la relativité générale, on obtient les équations d'Einstein-Vlasov. Après une (longue) introduction à l'étude des équations d'Einstein et d'Einstein-Vlasov, nous présenterons des résultats récents, obtenus en collaboration avec D. Fajman et Jérémie Joudioux, concernant la stabilité de l'espace de Minkowski pour le système d'Einstein-Vlasov.

We establish the relationship between the growth rate of periodic orbits and the topological entropy for $T'$ generic vector fields : the extends a classical result of Katok for $T^{1+\alpha}$ ($\alpha>0$) surface diffeomorphisms to $T'$ generic vector fields of any dimension.