The remarkable Non-wandering domain theorem due to Sullivan leads to a complete classification of the dynamics for a rational function on its Fatou set. Up to now, the generalization of Sulllivan's theorem in high dimension focus on polynomial skew products. In the case we essentially need to study the semi-local theory, i.e. to study the Fatou set of polynomial skew products in a neighborhood of an invariant fiber which is attracting, parabolic or elliptic. In this talk I will overview the previous results on all these three kinds of polynomial skew products, and present a new theorem on the attracting case. The theorem states that there are no wandering domains for a polynomial skew product with an attracting invariant fiber when the multiplier is small.

Birkhoff averages (of an observable along orbits) are objects of interest when investigating statistical behaviour of a dynamical system. If there is a unique physical measure, the Birkhoff averages will converge, for a positive measure set of initial conditions, to the space average (i.e. the integral) of the observable, so the physical measure captures important statistical properties of the dynamical system. However, in the quadratic family, for example, physical measures do not always exist, and even when they do, they do not necessarily depend continuously on the parameter. In joint work with Alexey Korepanov, we examine what happens for finite time Birkhoff averages for nearby parameters.

The classical Korteweg-de Vries equation (KdV for short) and its alternative, the regularized long-wave equation (RLW), also called the Benjamin, Bona, Mahony (BBM) equation, are mathematical models that approximately describe surface waves in shallow water in certain regimes. Both the KdV and BBM equations are globally well-posed in a wide range of Sobolev spaces and possess solitary-wave solutions. Furthermore, solitary-wave solutions are all stable.

Systems of coupled KdV equations and coupled BBM equations appear in various applications. There is far less known about them and it appears that their theory is considerably more complicated. The focus of the discussion in the seminar is existence, stability and instability of solitary-wave solutions for systems of these sorts.

La notion de marche quantique sur un graphe rencontre depuis quelques années un certain succès dans la littérature scientifique, vraisemblablement grâce à son positionnement au carrefour de l'informatique théorique, de la physique et des mathématiques. Après une description de certaines marches quantiques populaires illustrant l'intérêt qu'elles suscitent dans ces disciplines, on se concentrera sur les marches quantiques que l'on trouve sous la dénomination "coined quantum walks" dans la littérature. Adoptant un point de vue système dynamique discret sur ces marches quantiques, on discutera ensuite certaines de leurs propriétés de transport dans divers régimes, aléatoires et déterministes, mettant notamment en évidence leurs différences et similitudes avec les marches aléatoires classiques.

We construct new examples of closed, negatively curved Einstein four-manifolds. More precisely, we construct Einstein metrics of negative sectional curvature on ramified covers of compact hyperbolic four-manifolds with symmetries, initially considered by Gromov and Thurston. These metrics are obtained through a deformation procedure.

Our candidate approximate Einstein metric is an interpolation between a black-hole Riemannian Einstein metric near the branch locus and the pulled-back hyperbolic metric. We then deform it into a genuine solution of Einstein's equations, and the deformation relies on an involved bootstrap procedure. Our construction yields the first example of compact Einstein manifolds with negative sectional curvature which are not locally homogeneous.

This is a joint work with J. Fine (ULB, Brussels).

Les cristaux liquides nématiques sont une phase de la matière, que certains matériaux possèdent, dans laquelle les molécules ont la tendance à s'aligner localement les unes aux autres. Lorsqu'on considère un film mince de cristaux liquides nématiques étalés sur une surface (ce qu'on appelle une "coque nématique"), l'interaction entre les particules et la surface induit la présence des singularités, les défauts, qui obéissent à des obstructions topologiques et peuvent interagir entre elles et avec la courbure de la surface. Dans cet exposé, nous étudierons un modèle discret pour les coques nématiques, dans lequel les molécules se situent sur les noeuds d'un maillage triangulaire ; nous nous intéresserons notamment à la limite continue du modèle. Ce travail a été effectué en collaboration avec A. Segatti (Università di Pavia, Italie).

Nous discuterons des questions d’existence de disques minimaux dans une variété compacte, dont le bord rencontre orthogonalement une sous-variété donnée.

Des précédents travaux de Fraser donnent un résultat général d’existence par une technique de min-max sur la fonctionnelle d’énergie. Elle s’inspirait des méthodes de Sacks-Uhlenbeck utilisées dans le problème sans bord, en passant à la limite sur les solutions min-max d’une fonctionnelle approchée, vérifiant l’équation des applications dites $\alpha$-harmoniques.

Nous proposons plutôt d’adapter l’approche totalement différente de Colding-Minicozzi directement inspirée des méthodes de remplacement de Birkhoff sur les géodésiques, afin d’obtenir un résultat plus général : des identités d’énergie venant d’une convergence $W^{1,2}$ modulo bulles.

C’est un travail en collaboration avec Paul Laurain.