Si $X$ est une variété riemannienne compacte, chaque classe d’homologie singulière à coefficients entiers admet un représentant sous forme de courant entier minimiseur de masse. Je ferai un bref exposé de ce résultat dû à H. Federer et W.H. Fleming, les ingrédients principaux étant le théorème de compacité et l’inégalité isopérimétrique sur la variété X. Le but est d’étendre ce résultat à des espaces singuliers $X$.
Si $X$ est une variété singulière, par exemple un ensemble semi-algébrique ou sous-analytique global, alors l’inégalité isopérimétrique usuelle est en défaut. Je mentionnerai un résultat en collaboration avec R. Hardt au sujet d’une inégalité isopérimétrique linéaire.
Ensuite j’introduirai une classe plus vaste d’objets singuliers, des courants entiers vérifiant certains axiomes, qui inclut les ensembles définissables dans des structures o-minimales, et sur lesquels sont bien définies des fonctions à variation bornée. Si le courant sous-jacent est indécomposable, on démontre une inégalité de Poincaré-Wirtinger linéaire et par le biais d’une formule de la coaire, une inégalité isopérimétrique linéaire s’ensuit, ainsi que l’existence d’hypersurfaces minimisant la masse dans leur classe d’homologie.
Le modèle de dimères, également connu sous le nom de modèle de couplage parfait, est un modèle probabiliste introduit à l'origine dans la mécanique statistique. Une configuration de dimères d'un graphe est un sous-ensemble des arêtes tel que chaque sommet est incident à exactement une arête. Un poids est attribué à chaque arête et la probabilité d'une configuration est proportionnelle au produit des poids des arêtes présentes.
Dans cette thèse, nous étudions principalement deux modèles qui sont liés au modèle de dimères, et plus particulièrement leur comportements limites. Le premier est le modèle des forêts couvrantes enracinées sur des cycles (CRSF) sur le tore, qui sont en bijection avec les configurations de dimères via la bijection de Temperley. Dans la limite quand la taille du tore tend vers l'infini, la mesure sur les CRSF converge vers une mesure de Gibbs ergodique sur le plan tout entier. Nous étudions la connectivité de l'objet limite, prouvons qu'elle est déterminée par le changement de hauteur moyen de la mesure de Gibbs ergodique et donnons un diagramme de phase.
Le second est le modèle de perles, un processus ponctuel qui peut être considéré comme une limite à l'échelle du modèle de dimères sur un réseau hexagonal. Nous formulons et prouvons un principe variationnel similaire à celui du modèle dimère, qui indique qu'à la limite de l'échelle, la fonction de hauteur normalisée d'une configuration de perles converge en probabilité vers une surface $h_0$ qui maximise une certaine fonctionnelle qui s'appelle "entropie". Nous prouvons également que la forme limite $h_0$ est une limite de l'échelle des formes limites de modèles de dimères.
Il existe une correspondance entre configurations de perles et (skew) tableaux de Young standard, qui préserve la mesure uniforme sur les deux ensembles. Le principe variationnel du modèle de perles implique une forme limite d'un tableau de Young standard aléatoire. Nous dérivons également l'existence d'une courbe arctique d'un processus ponctuel discret qui encode les tableaux standard.
Dans cette thèse, on étudie principalement l’équation de Boltzmann homogène 3D pour les potentiels durs et les potentiels modérément mous et l’équivalence entre une EDS à sauts et l’EDP correspondante. En particulier, on calcule le spectre multifractal de certains processus stochastiques, on étudie le caractère bien-posé et la propagation du chaos pour l’équation de Boltzmann.
Dans le premier chapitre, on étudie les propriétés trajectorielles pathologiques du processus stochastique $(V_t)_{t\ge 0}$ représentant l’évolution de la vitesse d’une particule typique dans un gaz modélisé par l’équation de Boltzmann pour les potentiels durs ou modérément mous. Nous montrons que ce processus est multifractal et qu’il a un spectre déterministe. Pour les potentiels durs, nous donnons aussi le spectre multifractal du processus $X_t=\int_0^t V_s ds$, représentant l’évolution de la position de la particule typique.
Dans le deuxième chapitre, nous étudions l’unicité de la solution faible à l’équation de Boltzmann dans la classe de toutes les solutions mesures, pour les potentiels modérément mous. Ceci nous permet aussi d’obtenir un taux quantitatif de propagation du chaos pour le système de particules de Nanbu.
Le principe holographique en physique est une conjecture qui dit que toute l'information contenue dans un volume d'espace peut être décrite par des données sur les bords.
Dans un travail en commun avec Sebastián Montiel, nous étudions un principe holographique pour l'existence de spineurs parallèles. Ce résultat implique le Théorème de la Masse Positive.
Nous démontrons que toute métrique de Finsler $k$-basique dans le tore de dimension $2$, telle que son fibré unitaire admet un feuilletage Lagrangien invariant de classe $C^2$ est en fait plate. Ce résultat est lié à la conjecture de Hopf pour les métriques de Finsler $k$-basiques sans points conjugués. Cependant, la conjecture de Hopf n´est pas vraie pour les métriques de Finsler sans points conjugués dans le tore d´après les contre-exemples de Busemann.
