Ce travail en collaboration avec M. Kilian et M. Schmidt, utilise les systèmes intégrables pour déformer les anneaux minimaux plongés. Nous montrerons que l'espace de ces surfaces est connexe par arc. Il s'agit de comprendre les raisons qui permettent de préserver la période et le plongement le long de cette déformation. La famille des anneaux plongés et feuilletés par des cercles est par ailleurs isolée. Cela détermine la géométrie des anneaux plongés dans $\mathbb{S}^2\times \mathbb{R}$. Au coeur de la théorie on trouvera les équations de Lax, de Sinh-Gordon et KDV.

Nous montrons que les deux surfaces plates à singularités coniques conjecturées extrémales par Calabi pour le problème isosystolique en genre trois sont critiques par rapport à certaines variations de métriques.