The aim of this talk is twofold: the topological and geometric classification of complete weighted $H_\phi -$stable surfaces immersed in a manifold with density $(\mathcal{N},g,\phi)$ whose Perelman Scalar curvature, in short, P-Scalar curvature, is nonnegative and the classification of manifolds with density $(\mathcal{N},g,\phi)$ under the existence of a certain compact weighted area-minimizing surface and a lower bound of its $P-$scalar curvature. Here, the P-scalar curvature is defined as $R_\phi^\infty= R - 2 \Delta _g \ln \phi - |\nabla _g \ln \phi |^2$, being $R$ the scalar curvature of $(\mathcal{N},g)$.

Given an immersion of a surface into the euclidean $3$ space, the Willmore functional is defined as the $L^2$ norm of the mean curvature. If we consider immersions in a Riemannian manifold there are many possible generalizations of the Willmore functional; in the seminar we will speak about these generalizations and study the existence of minimizers and critical points of the corresponding functionals under curvature or topological conditions on the ambient manifold. The topic has links with general relativity, string theory, biology, nonlinear elasticity theory etc.

J'introdurai la notion de multifonction $X \to Q_Q(Y)$ où $X$ et $Y$ sont des espaces métriques et $Q$ est un entier, par exemple $X = \mathbb{C}^Q$, $Y=\mathbb{C}$ et $f$ fait correspondre à un $Q$-uple $a_1,...,a_Q$ de nombres complexes, le $Q$-uple non ordonné des racines du polynôme $z^Q + a_1 z^{Q-1} + ... + a_Q$.

Dans les cas $X=\mathbb{R}^m$ et $Y=\mathbb{R}^k$, je parlerai de la notion d'énergie de Dirichlet d'une multifonction, de collections de Sobolev correspondantes. J'expliquerai des résultats de régularité récents de P. Bouafia, et je mentionnerai des exemples de varifolds stationnaires construits par L. Rolases.

Enfin, j'évoquerai un résultat récent d'existence pour le problème de Dirichlet lorsque l'espace $Y=\ell_2$ est hilbertien de dimension infinie.