Un certain nombre de travaux ont déjà été effectués pour déterminer la localisation des fonctions propres de basse énergie du laplacien magnétique. Avec Nicolas Raymond, nous nous proposons d’ajouter une pierre à l’édifice en calculant de façon relativement explicite un développement BKW de ces fonctions propres. J’expliquerai comment la construction fonctionne et replacerai le résultat dans son contexte.

J’introduirai de façon élémentaire des inégalités de concentration classiques avant de montrer quelles formes elles prennent dans le cadre des systèmes dynamiques non-uniformément hyperboliques. En bref, une inégalité de concentration quantifie la probabilité qu’une fonction séparément lipschitzienne de $n$ variables aléatoires s’écarte de son espérance. Les fonctions autorisées peuvent être fortement non-linéaires et implicites. La probabilité en question est bornée par une fonction d’une constante indépendante de la fonction (et de $n$) et de la somme des carrés de ses constantes de Lipschitz ”partielles”. Je montrerai diverses applications de telles inégalités.

In lots of practical problems, the statistical issue is very much connected to a genuine geometry. It is obviously the case for data observed on geometrical objects: directional data, data defined on some specific manifolds, on graphs, trees, or matrices... In most cases the geometry is well described by a linear operator -the Laplacian in most cases-.

The spectral decomposition of this operator plays an important role translating an intrinsic structure which leads to a natural choice of estimates Morover, the operator often induces a genuine regularization, leading to a regularity definition adapted to the structure of the data, which is fundamental in various situations : denoising, semi-supervised learning, classification...

We illustrate this problem by the example of density estimation using a heat kernel littlewood Paley decomposition, as well as bayesian functional estimation considering Gaussian processes as a-priori measures. In this particular later case, the problem of adaptation shows the need for fitting the a priori distribution to an harmonic analysis of the structure of the data, and in particular we associate the choice of the Gaussian measure with the Laplacian of the structure. We extend the results of Ghosal, Ghosh and van der Vaart, on the concentration a posteriori measures, for the case of geometrical data.

We also relate this construction to a characterization of the regularity of Gaussian processes on geometric objects.

Recently, a novel signal-processing tool was proposed, the scattering transform, which uses a cascade of wavelet filters and nonlinear (modulus) operations to build translation-invariant and deformation-stable representations. Despite being aimed at providing a theoretical understanding of deep neural networks, it also shows state-of-the-art performance in image classification. First, we explore its performance for art authentication purposes. We analyze two databases of art objects (postimpressionist paintings and Renaissance drawings) with the goal of determining those authored by van Gogh and Raphael, respectively. To that end, we combine scattering coefficients with several linear classifiers, in particular sparse $\ell_1$-regularized classifiers. Results show that these tools provide excellent performance, superior to state-of-the-art results, and highlight the benefits of sparse classifiers. Second, we show preliminary results of their use for photorealistic rendering. We highlight the limitations of this approach, and the works currently in progress.

Joint work with Yang Wang and Haixia Liu

Dans un article récent, Chodosh et Ketover ont montré que dans dans une variété asymptotiquement plate il existe des plans minimaux proprement plongés. Plus précisément, pour tout point de cette variété il existe un plan minimal contenant ce point. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut de plus prescrire la normale au plan en ce point. Par ailleurs on peut montrer qu'étant donnés trois points il existe toujours un plan minimal contenant ces trois points.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Harold Rosenberg

Dans cet exposé, nous examinerons deux questions liées aux signes des valeurs propres de Hecke ou coefficients de Fourier des formes modulaires classiques.
Le premier problème, qui a été considéré par plusieurs auteurs, est de déterminer la taille, en termes du conducteur, du premier changement de signes de valeurs propres de Hecke. Ici, nous améliorons l'estimation d'Iwaniec, Kohnen et Sengupta, en utilisant la théorie des nombres friables.
Le deuxième problème est de savoir dans quelle mesure ces signes, pour des ensembles de nombres premiers, déterminent uniquement la forme modulaire, et nous donnons des résultats individuels et statistiques, en utilisant la théorie de Rankin-Selberg et le grand crible.
C'est un travail commun avec E. Kowalski, Y.-K. Lau et K. Soundararajan.

On essaiera d'étendre le théorème de Stokes à des domaines et des formes présentant des singularités. Si le domaine est un ensemble de périmètre fini dans l'espace euclidien, une technique d'intégration développée par W. Pfeffer dans l'esprit de Henstock et Kurzweil permet de démontrer un théorème de Stokes valide pour une forme continue, différentiable partout sauf en un ensemble "effaçable". L'intérêt de ce théorème est qu'il ne demande aucune régularité à la différentielle de la forme, pas même qu'elle soit Lebesgue intégrable.

On verra dans quelle mesure ces techniques peuvent s'étendre à des domaines singuliers, dans le cadre des courants entiers de Federer et Fleming. On étudiera les conditions d'effaçabilité des singularités du support, qui ne sont pas aussi simples à définir que dans le cas plat.

Le modèle de dimères sur graphe bipartie est un appariement (perfect matching) des sommets du graphe, c'est-à-dire un sous-ensemble d'arêtes qui recouvrent chaque sommet une seule fois. C'est un modèle classique de physique statistique, qui remonte aux travaux de Temperley/Fisher et Kasteleyn dans les années 60.

Un objet central pour le modèle de dimères est une fonction de hauteur introduite par Thurston, qui permet de voir le modèle de dimères comme une surface aléatoire discrète. Je vais expliquer une série de résultats (en collaboration avec Benoit Laslier et Gourab Ray) où nous montrons dans un certain nombre de situations la convergence de cette fonction de hauteur vers une limite universelle et invariante conforme. Cela inclut en particulier le cas de graphes dessinés sur des surfaces de Riemann.

Une idée clef de notre approche est d'exploiter les couplages dits de "géométrie imaginaire" entre champ libre gaussien (GFF) et courbes de Schramm--Loewner Evolution (SLE).