On étudie la dynamique d'une équation de type Schrödinger sur le cercle pour laquelle il n'y a aucun phénomène de dispersion. On se ramène à l'étude de l'équation de Szegö cubique qui peut être vue comme la forme normale de l'équation. L'équation de Szegö cubique fournit un exemple de système hamiltonien totalement intégrable mais assez dégénéré. On caractérise notamment les ondes stationnaires et leur instabilité. Il s'agit d'un travail en commun avec P. Gérard.

Let $([0,1], T_{\beta})$ be the beta-dynamical system for $\beta>1$. For any $x, y\in [0,1]$, write

$d_n(x;y):=d(T^n_{\beta}(x), y)$

to measure the distance of the $n$-th orbit $T^n_{\beta}(x)$ of $x$ to the point $y$. This talk is devoted to investigating the size of following recurrence set and shrinking target problem

$R(\psi, T_{\beta}):=\big\{x: d_n(x; x)<\psi(n, x), \text{i.o.}\ n\in \mathbb{N}\big\},$
$S(\psi, T_{\beta}, y):=\big\{x: d_n(x; y)<\psi(n, x), \text{i.o.}\ n\in \mathbb{N}\big\},$

where $\psi$ is some positive function given in advance. Among them, some algebraic and geometric properties shared by $\beta$-expansion are also investigated to serve for the main results.

Nous présentons la construction d'un nouveau processus aléatoire multifractal à temps continu, dont le caractère asymétrique correspond à des régularités statistiques observées sur le prix de certains actifs financiers. En effet, sur les données, on constate que les distributions empiriques présentent des queues plus épaisses pour les valeurs négatives que pour les valeurs positives (les krachs l'emportent sur les fortes hausses), et de plus les fortes baisses du cours ont tendance à augmenter la volatilité du prix dans les périodes qui suivent. Les modèles multifractals déjà existants comme le processus MRW reproduisent bien la plupart des régularités statistiques des données financières, exceptée cette asymétrie ; nous modifions l'approche MRW en intégrant le processus de cascade qui représente la volatilité contre un bruit gaussien fractionnaire et corrélé au processus de cascade.

Il s'agit d'une collaboration avec Emmanuel Bacry et Jean-François Muzy.