The Interval exchange map generalizes the irrational rotation of the circle. We discuss Diophantine type of the irrational rotation to the interval exchange map and introduce a Diophantine type for the interval exchange maps using the asymptotic rate of the return time. It is a generalization of the Roth's type condition for the irrational rotation. Also the asymptotic rate of hitting time is considered.

Introduit par Poincaré dans son Mémoire sur les courbes définies par les équations différentielles, le nombre de rotation est l'invariant fondamental pour comprendre la dynamique sur le cercle. J'essaierai d'expliquer comment cette notion se transpose aux surfaces et comment les nombres de rotations sont au centre de résultats, anciens ou récents, concernant l'existence de points fixes ou la structure algébrique des groupes de difféomorphismes préservant les aires.

L’appareil respiratoire des mammifères contient un arbre dichotomique d’environ 15 générations, l’arbre trachéo-bronchial dont le rôle est de transporter l’air vers les échanges alvéolaires. On montrera que cette arbre fractal est ”multi-optimal”: sa géométrie minimise la dissipation visqueuse, il est simultanément ”space-filling” au sens fractal mais aussi c’est l’arbre le plus rapide qui permet la respiration alternée des mammifères. Ce type particulier de redondance pourrait avoir joué un rôle dans l’évolution. On discutera ensuite de la ”robustesse” de ce type d'arborescences vis-à-vis de l’inévitable variabilité physiologique et on montrera qu’un arbre ”asymétrique mais pas trop” est le plus robuste. Cette asymétrie partielle est conforme à celle trouvée chez l’homme.

Nous explorerons la diversité des pratiques algorithmiques dans le sous-continent indien en examinant des procédures qui n’ont pas pour but unique la résolution d’un problème: algorithmes jeux et algorithmes réflexifs serviront d’appui à une première approche des textes mathématiques en langue sanskrite et à une réflexion plus générale sur les raisonnements effectués dans ce cadre.

Parmi les documents annexes à seconde édition latine de la Géométrie de Descartes (1659-1661) il y a deux lettres de Johannes Hudde, datées respectivement des ides de juillet 1657 et du 6 février 1658. La seconde concerne le problème des maxima et minima. Son but est de présenter une nouvelle méthode pour résoudre ce problème, applicable en toute situation où la relation entre la grandeur dont on cherche un extremum et la variable choisie comme principale est exprimée par une expression algébrique.

Cette méthode est fondée sur celle qui deviendra ensuite célèbre comme la règle de Hudde, une règle qui jouera quelques années plus tard un rôle fondamental dans les recherches qui conduisirent Newton au calcul des fluxions. On montrera comment la méthode de Hudde permet de donner une forme stable à l'algorithme suggéré par la méthode des tangentes de Descartes (cf. le conférence de S. Maronne), et conduit de ce fait à l’algorithme du calcul infinitésimal pour des fonctions algébriques quelconques, que Newton ne découvrira à son tour (de manière indépendante) qu’en 1665.

Quand on prend le mot « algorithme » dans ses différentes usages au XVIIe et au XVIIIe siècles, on voit que « algorithme » peut couvrir plusieurs choses à la fois. On a « algorithme », comme dans algorithme décimale, "système de notation" ; algorithme, comme dans "algorithmus calculi", "système de calcul"; et finalement, algorithme veut aussi dire ce que ce mot signifie aujourd’hui, une séquence déterminée d’opérations mathématiques simples. Ce qui semble unir ces trois aspects, c'est qu'on a une représentation spécifique de données avec un ensemble d'opérations sur cette représentation. Une différenciation entre les trois aspects du mot, la préférence d'identifier "algorithme" avec le troisième aspect, et la perte de l'aspect "représentation" semblent s'imposer dès les débuts du XIXe siècle. Par des citations de divers auteurs autour de 1800 en Allemagne (Lambert, Béguelin, Hindenburg, Gauss), on essaiera de retracer cette différenciation et ce glissement sémantique du mot « algorithme ».

La méthode des normales de Descartes se fonde sur l'identification à l'aide de la méthode des coefficients indéterminés de l'équation résultante de l'équation de la courbe et de l' « équation » d'un cercle à une équation à racine double. Cela exprime le fait que la normale peut être vue comme le rayon d'un cercle tangent à la courbe au point considéré qui est un point double d'intersection. Je montrerai que la méthode des normales s'appuie partiellement sur un algorithme.