Le but de cette présentation est d'expliquer quelques problèmes rencontrés en finance ainsi que l'enjeu numérique qu'ils posent. On aura donc à présenter chaque problème d'une manière théorique puis donner la formulation algorithmique la plus appropriée (au sens du temps de calcul).
*IMPORTANT* : Le café sera servi au laboratoire (bâtiment P3, 4e étage).
On montre divers résultats d'optimisation pour la première valeur propre d'opérateurs elliptiques généraux du second ordre sous forme divergence avec condition au bord de Dirichlet dans des domaines bornés non vides de classe $C^2$ de $\mathbb{R}^n$. En particulier, on obtient une inégalité de type "Faber-Krahn" pour ces opérateurs, qui généralise l'inégalité de Rayleigh-Faber-Krahn pour la première valeur propre du Laplacien. Les preuves utilisent une nouvelle méthode de réarrangement. Il s'agit de travaux en collaboration avec François Hamel et Nikolai Nadirashvili.
Alors que de nombreux systèmes classiques présentent des propriétés de fractalité ou de multifractalité, la mise en évidence de l'existence de fonctions d'onde quantiques multifractales est beaucoup plus récente. Plusieurs modèles quantiques ayant de telles propriétés ont été récemment identifiés. Dans le domaine du chaos quantique, ils correspondent à des systèmes pseudointégrables pour lesquels des constantes du mouvement existent mais dont les surfaces invariantes ont des propriétés topologiques complexes. En matière condensée, ces propriétés sont présentes pour des électrons dans un potentiel désordonné au point de la transition métal-isolant (transition d'Anderson). Ces propriétés multifractales se manifestent conjointement avec des statistiques spectrales d'un type particulier, intermédiaire entre la distribution de Poisson, caractéristique des systèmes intégrables, et les prédictions de la théorie des matrices aléatoires, associées aux systèmes classiquement chaotiques. Après avoir présenté différents modèles d'applications quantiques dont les propriétés spectrales sont intermédiaires, je proposerai une conjecture reliant la dimension d'information des fonctions d'onde à la compressibilité du spectre.
Nous nous intéressons dans un premier temps aux espacements uniformes multivariés. Plus précisément, nous étudions l’ensemble des points de $[0,1]^d$ où nous avons infiniment souvent de "grands" espacements. Nous montrons que nous pouvons calculer la dimension de Hausdorff de cet ensemble de points exceptionnels. Dans une deuxième partie, nous étudions les oscillations de certains processus, le mouvement brownien par exemple. Nous regardons les points au voisinage desquels nous avons infiniment souvent de "grandes" oscillations. Ces évènements rares constituent un ensemble fractal et nous prouvons qu’il est également possible de calculer sa dimension de Hausdorff.
Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction $f$ est de puissance $p$-ème intégrable ($p>1$), sa série de Fourier converge presque partout. D'un autre coté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné $x$, on peut introduire l'indice de divergence comme étant le plus petit exposant $t$ tel que $S_nf(x)=O(n^t)$. On sait que cet indice est au plus égal à $1/p$ et on s'intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points $E_t$ d'indice de divergence donné $t$. Nous montrons que quasi-toute fonction de $L^p$ (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-surement dans $ L^p$, pour tout $t$, la dimension de Hausdorff de $E_t$ vaut $1-tp$. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de $S_nf(x)$ est controlée par le logarithme de $n$. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels. Il s'agit d'un travail commun avec Yanick Heurteaux (Clermont-Ferrand).
