Given a surface S, Kra's plumbing construction endows S with a projective structure for which the associated holonomy representation depends on some complex `plumbing parameters'. This construction gives elements of the Maskit slice, a well-known slice of the boundary of the Quasifuchsian space QF(S). In this talk, after reviewing basic results on Kleinian groups, Dehn--Thurston coordinates, complex projective structures and Maskit slice, we will describe the plumbing construction and a more general plumbing construction, called the c-plumbing construction, which builds elements in a particular slice of the Quasifuchsian space. Time permitting, we will describe some properties of these slices and we will show some pictures.

Les $\alpha$-fractions continues de Nakada, où $\alpha$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$, constituent une généralisation des fractions continues régulières. La transformation de Gauss $x \mapsto 1/x - [1/x]$ sur l'intervalle $[0,1)$ est remplacée par la transformation $T_\alpha: x \mapsto 1/|x| - [1/|x|+1-\alpha]$ sur l'intervalle $[\alpha-1,\alpha)$. On peut associer à cette transformation une extension naturelle dont le domaine est une union (finie ou infinie) de rectangles, et l'entropie de $T_\alpha$ est proportionnelle à la réciproque de la mesure de ce domaine. Les rectangles peuvent être décrits par les $T_\alpha$-orbites des extremités de l'intervalle $[\alpha-1,\alpha)$. Pour $\alpha \geq \sqrt 2-1$, il s'agit d'une union d'au plus 3 rectangles, alors que le domaine est de nature fractale pour $\alpha < \sqrt 2-1$. Les $T_\alpha$-orbites de $\alpha-1$ et de $\alpha$ se rejoignent ultimement pour $\alpha$ dans une union dénombrable de sous-intervalles de $[0,1]$ dont le complément est de dimension de Hausdorff $1$. Bonanno, Carminati, Isola et Tiozzo ont établi une relation entre ce complément et l'intersection de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot avec l'axe réelle.

L'odomètre est simplement l'application consistant à ajouter 1 aux entiers écrits en base 2. En introduisant un terme d’erreur aléatoire on obtient une chaine de Markov définie sur les entiers. Je montrerai dans quelle mesure le spectre de ces odomètres stochastiques peut s'identifier à l'ensemble de Julia rempli d'un polynôme quadratique, ce qui permet de déduire certaines propriétés du spectre en question.

Les "Systèmes Itérés de Fonctions" (en anglais IFS, "Iterated Function Systems") sont une manière de représenter des dynamiques non déterministes (un point peut avoir plusieurs images). Je rappelerai leurs propriétés classiques (d'après Barnsley, Harrington, ...) ainsi que quelques résultats plus récents, en me concentrant particulièrement sur les questions de connexité des attracteurs et des lieux de connexité.

La dynamique sur des arbres de sphères apparaît dans de nombreux travaux en dynamique holomorphe (Shishikura et les anneaux de Herman, DeMarco-McMullen et la compactification des polynômes, Godillon avec des épaississements d'arbres de Hubbard, Kiwi et les espaces de Berkovich, Selinger et les obstructions de Thurston...). J'essaye de comprendre comment ces
résultats s'articulent les uns avec les autres.

Certains polynômes complexes possèdent un arbre topologiquement fini contenant l'ensemble postcritique: l'arbre de Hubbard. L'entropie de cette dynamique sur arbre donne des informations fines sur la dynamique du polynôme. Ceci est comparable d'étudier l'entropie d'un polynôme a coefficient reel sur R. Je vais essayer d'exposer les progrès récents de W. Thurston et G.Tiozzo sur la variation de ces entropies au sein de la famille des polynômes quadratiques. Il s'agit des généralisation de la théorie classique de Milnor-Thurston.

In this paper we study the multiple ergodic averages
$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \varphi(x_k, x_{kq}, \cdots, x_{k q^{\ell-1}}),
\qquad (x_n) \in \Sigma_m$$
on the symbolic space $\Sigma_m =\{0, 1, \cdots, m-1\}^{\mathbb{N}^*}$ where $m\ge 2, \ell\ge 2, q\ge 2$ are integers. We give a complete solution to the problem of multifractal analysis of the limit of the above multiple ergodic averages.
Actually we develop a non-invariant and non-linear version of thermodynamic formalism that is of its own interest. We study a large class of measures (called telescopic measures) and the special case of telescopic measures defined by the fixed points of some non-linear transfer operators plays a crucial role in studying our multiplicatively invariant sets. These measures share many properties with Gibbs measures in the classical thermodynamic formalism. Our work also concerns with variational principle, pressure function and Legendre transform in this new setting.

I introduce a new way to look at the group actions on the circle via the number of transverse dense invariant laminations. As a motivational example, we characterize the fuchsian groups in terms of the invariant laminations. Having infinitely many invariant laminations with some additional assumptions on the laminations guarantees that the given group is fuchsian. From the ideas developed in the proof, we can also prove that having three invariant laminations with stronger assumptions gives the same result. The key ingredient is the convergence action. The development of the theory was motivated by Thurston's universal circle construction for tautly foliated 3-manifold groups. It is also related to the lamination approach of the study on complex polynomials.

I will emphasize the dynamical point of view of the theory more.

(Avec Ludwik Jaksztas, Varsovie)

Nous montrons que si $z^2+c$ admet un cycle parabolique avec $c$ reel alors, si la fleur de Leau Fatou admet 2 petales la fonction $d(t)=HD(z^2+t)$ est derivable en $c$ si $d(c)>4/3$; dans le cas contraire on donne des estimees precises de $d'(t)$ pour $t\rightarrow c$ (la derivee tend alors vers l'infini). Le cas d'un seul petale est aussi envisage et nous montrons que la derivee a gauche est finie si $d(c)>3/2$ et croit vers $+\infty$ dans le cas contraire.

We will review known results about the defining Riemann surfaces of the multiplier maps for the family $z^2+c$. These maps are initially defined by Douady and Hubbard on hyperbolic components in order to uniformize these components.