Les $\alpha$-fractions continues de Nakada, où $\alpha$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$, constituent une généralisation des fractions continues régulières. La transformation de Gauss $x \mapsto 1/x - [1/x]$ sur l'intervalle $[0,1)$ est remplacée par la transformation $T_\alpha: x \mapsto 1/|x| - [1/|x|+1-\alpha]$ sur l'intervalle $[\alpha-1,\alpha)$. On peut associer à cette transformation une extension naturelle dont le domaine est une union (finie ou infinie) de rectangles, et l'entropie de $T_\alpha$ est proportionnelle à la réciproque de la mesure de ce domaine. Les rectangles peuvent être décrits par les $T_\alpha$-orbites des extremités de l'intervalle $[\alpha-1,\alpha)$. Pour $\alpha \geq \sqrt 2-1$, il s'agit d'une union d'au plus 3 rectangles, alors que le domaine est de nature fractale pour $\alpha < \sqrt 2-1$. Les $T_\alpha$-orbites de $\alpha-1$ et de $\alpha$ se rejoignent ultimement pour $\alpha$ dans une union dénombrable de sous-intervalles de $[0,1]$ dont le complément est de dimension de Hausdorff $1$. Bonanno, Carminati, Isola et Tiozzo ont établi une relation entre ce complément et l'intersection de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot avec l'axe réelle.