Would you like to find a polynomial whose Julia set looks like a car? a triangle? a cat? your favorite aunt? I will tell you how to construct such a polynomial. In joint work with William Thurston, I proved that any Jordan curve in the plane can be approximated arbitrarily well in the Hausdorff topology by the Julia sets of polynomials. Finite unions of disjoint Jordan curves can be approximated by the basins of attraction of rational maps. I will discuss these results and show some pictures of neat Julia sets.

Durant printemps 2011, Bill Thurston a établi un modèle combinatoire de l'espace des polynômes dynamiques de degré $d$, en utilisant le complémentaire du discriminant des polynômes non-dynamiques. Ceci lui a permit de conclure que le groupe fondamental de cet espace est le groupe de tresse et que les groupes d'homologies supérieurs sont tous triviaux.

Parallèlement, il a utilisé l'application du tore $(x,y)\mapsto(dx,dy)$ pour encoder tous ces polynômes, et a donné un algorithme effectif pour calculer l'entropie topologique sur l'arbre de Hubbard ainsi que la dimension de Hausdorff des rayons externes aboutissant sur l'arbre. C'est le début de la "complexification" de la théorie de Milnor-Thurston sur les polynômes réels.

J'essayerai de présenter ces résultats, ainsi que quelques problèmes autour.

We study topological structure of minimal sets in dynamical systems given by a continuous selfmap of a compact metric space X. First we consider the spaces X in which the full topological characterization of minimal sets is known. Then we discuss the alternative "nowhere dense or the whole space" which holds for minimal sets in some important classes of systems. Finally, we present results on the structure of minimal sets of fibre-preserving maps in graph bundles.

It is an open problem whether the repelling periodic points are dense in the classical Julia set of a rational function over non-archimedean fields. In this talk, we give a partial positive answer to this question based on a study of "logarithmic equidistribution'' on Berkovich projective line over non-archimedean fields.

Nous étudions le système de Gauss associé aux fractions continues du point de vue de l'analyse multifractale. Etant donnée une fonction d'observation dans un système dynamique, nous nous intéressons à ses moyennes de Birkhoff. Nous calculons les dimensions de Hausdorff des ensembles de niveau de la limite des moyennes de Birkhoff. Ceci définie une fonction dimensionnelle appelée un spectre multifractal. Trois spectres multifractals concernant les fractions continues: le spectre de l'exposant de Khintchine, le spectre de l'exposant de Lyapunov et le spectre de la fréquence des quotients partiels sont obtenus. Pour calculer la dimension de Hausdorff d'un ensemble, nous cherchons souvent une bonne mesure supportée par cet ensemble. La théorie de l'opérateur de Ruelle nous donne une méthode pour trouver une telle mesure.

Nous étudions aussi les spectres multifractals dans un contexte plus générale, pour une fonction d'observation générale et pour un système dynamique sur l'intervalle unité ayant une infinité de branches.

Cet exposé concerne des travaux en collaboration avec Fan, Jordan, Ma, Rams, Wang, et Wu.