L'objet de l'expose sera de presenter une caracterisation
topologique de fractions rationnelles semihyperboliques vues comme
revetements ramifies ayant des proprietes d'expansivite.

Le but de l’exposé sera d’introduire le modèle de percolation 2d et d’expliquer la théorie Russo-Seymour-Welsh. On montera que $p_c=1/2$ pour le réseau triangulaire, puis on discutera des outils qui permettent de montrer la convergence des interfaces de perco vers le SLE6.

Grâce à Smale, on sait depuis plus de 50 ans qu'on peut
retourner la sphère par des immersions, c'est à dire qu'il existe dans
l'ensemble des immersions de la sphère dans R3, un chemin qui relie
la sphère plongée à la sphère plongée antipodalement, autrement dit :
avec les faces interne et externe échangées. Ce serait bien sûr
impossible avec seulement des plongements: il faut que des
morceaux se traversent et se nouent, sans toutefois jamais créer de
pli ou de courbure infinie.

C'était une surprise et contredisait l'intuition ambiante d'alors.
Ce n'est que quand des chemins explicites ont été trouvés puis
dessinés que le résultat a été largement accepté. On appelle éversion
un tel processus. Depuis, plusieurs variantes ont été découvertes, et
plusieurs animations ont été réalisées et continuent de l'être encore
aujourd'hui. J'en montrerai quelques-unes.

Inspiré par le film du Geometry Center, je donnerai ensuite une façon
vraisemblablement nouvelle de réaliser une éversion de la sphère, que
j'espère voir posséder des vertus de simplicité.

Dans ce séminaire on s’intéresse à la construction d'une conjugaison quasi symétrique pour les applications $C^2$ du cercle préservant l'orientation avec un intervalle plat. On considère en particulier la sous-classe des fonctions avec un nombre de rotation de type borné et pour lesquelles la géométrie bornée se produit. Pour deux applications dans cette classe avec le même nombre de rotation, on construit un homéomorphisme quasi symétrique du cercle qui est une conjugaison sur leurs ensembles non-errants.

L’homomorphisme construit ne peut pas s'étendre facilement à une conjugaison sur tout le cercle à cause de propriétés inattendues de distorsion de nos fonctions qui seront également expliquées.

Le cas général des fonctions avec un nombre de rotation de type non borné est également étudié. La situation devient plus compliquée à cause de la présence de phénomènes paraboliques. Tout d'abord on présentera quelques cas de figure et ensuite de possibles futurs développements.

L'ensemble des fractions rationnelles de degré $d>1$ modulo conjugaison par les transformations de Moebius n'est pas compact et l'on voit apparaitre des phénomènes dits de limites renormalisées lorsque l'on prend des suites de fractions rationnelles qui divergent. Pendant mon exposé je présenterai et tenterai de comparer deux manières d'étudier ces phénomènes. La première est l'utilisation de la compactification de Deligne-Mumford de l'ensemble de module des sphères à points marqués, mon travail de thèse. La seconde est l'utilisation des outils non-archimédiens, les espaces de Berkovich. Il ne sera requis aucune connaissance dans ces deux sujets.