Il est possible de plonger isométriquement une sphère unité dans une boule de rayon arbitrairement petite. Bien sûr, la courbure de Gauss interdit à ce plongement d'être de classe $C^2$ , mais il est tout de même $C^1$ , et admet un plan tangent partout.

Ce résultat contre-intuitif date des années 50 et il est dû à Nash et Kuiper. Nous expliquerons comment construire une telle sphère et nous en présenterons des images.

On cherche à trouver des points critiques de l'énergie de Dirichlet parmi les applications $u:A \rightarrow \mathbb{C}$ qui vérifient $|u|=1$ sur $\partial A$ où $A=\Omega \setminus \omega=\{z \in \mathbb{C} ; \rho < |z| < 1\}$ est un anneau de $\mathbb{R}^2$. On impose de plus les degrés topologiques de $u$ sur les bords de l'anneau : $deg(u,\partial \Omega)=p$ et $deg(u,\partial \omega)=q$.

On peut voir que sous certaines conditions ce problème est équivalent à trouver des surfaces minimales dans $\mathbb{R}^3$ bordées par deux cercles dans des plans parallèles. En degré $1$, le théorème de Shiffman affirme qu'une telle surface est nécessairement une portion de Caténoide. En degré $2$ ou plus on peut montrer l'existence d'autres surfaces minimales ayant de telles propriétés et obtenues par bifurcation à partir du Caténoide.

Ceci est un travail en collaboration avec Laurent Hauswirth.

(travail en collaboration avec R. Mazzeo, Université de Stanford)

Les surfaces minimales du produit du plan hyperbolique par la droite ont déjà été largement étudiées. Dans cet exposé je propose de considérer leurs comportements asymptotiques, relativement à différentes compactifications de $\mathbb{H}^2\times \mathbb{R}$ issues de la théorie générale des espaces symétriques.

J'expliquerai pourquoi le bord géodésique ne « voit » que des comportements très dégénérés, et je donnerai un nouvel exemple de courbe du bord produit que l'on peut réaliser comme le bord d'une surface minimale, et qui contredit une conjecture naturelle.

On examine la construction de surfaces de Scherk symétriques dans l'espace de Heisenberg, autrement dit de surfaces minimales périodiques qui peuvent être vues comme la désingularisation de plans verticaux s'intersectant à angle constant. Le point-clé est la construction d'une barrière adéquate pour assurer la convergence d'une famille de disques minimaux. Une telle barrière est en fait une déformation périodique d'un plan minimal avec contrôle du comportement asymptotique.

Dans cet exposé, je présenterai plusieurs relations reliant le volume d'une variété riemannienne donnée au volume d'une hypersurface minimale obtenue par un procédé de min-max.

Pincement de la première valeur propre pour le problème de Steklov

Je discuterai quelques résultats récents sur l'existence, l'unicité et l'extension des solutions d'équations aux dérivées partielles nonlinéaires sur une variété lisse.