Soit $S$ une surface fermée de genre au moins $2$. On montre que tout couple de métriques hyperboliques sur $S$ se réalise (d'au moins une façon) comme métriques supérieures et inférieures du bord du coeur convexe d'une variété AdS globalement hyperbolique maximale compacte $M$ admettant une hypersurface de Cauchy homéomorphe à $S$. Ceci répond partiellement à une conjecture de Mess sur l'existence et l'unicité d'une telle variété $M$. Ce résultat se traduit aussi en terme de tremblements de terre en théorie de Teichmuller.

Le principe holographique en physique est une conjecture qui dit que toute l'information contenue dans un volume d'espace peut être décrite par des données sur les bords.

Dans un travail en commun avec Sebastián Montiel, nous étudions un principe holographique pour l'existence de spineurs parallèles. Ce résultat implique le Théorème de la Masse Positive.

L'un des problèmes isopérimétriques les plus classiques consiste à minimiser le périmètre de domaines de volume fixé. L'objectif de cet exposé est d'appréhender des problèmes de ce type, mais où la fonctionnelle à minimiser n'est plus le périmètre, et éventuellement les domaines sont soumis à des contraintes différentes ; l'objectif étant d'obtenir des informations de nature géométrique sur les solutions.

Par exemple, on évoquera des problèmes qui peuvent ressembler à "Quel domaine maximise le périmètre parmi les domaines de volume fixé ?". Pour qu'un tel problème soit bien posé, on devra imposer de très fortes contraintes sur les domaines admissibles. En l'occurrence, on les demandera convexes, ce qui fournit une formulation du type :
$$
\min\{J(K), K\textrm{ convexe }\subset\mathbb{R}^d\}
$$
où $J$ est une fonction d'énergie (par exemple l'opposé du périmètre).

Le problème de résistance minimal de Newton est le plus vieux problème de ce type, et il a été prouvé que les minimiseurs montrent des ruptures de symétries et de régularité, inhabituelles en calcul de variation.

De nombreux problèmes ouverts, issus de l'analyse fonctionnelle, de la géométrie convexe, et des EDP rentrent dans la formulation précédente ; on décrira ces exemples et quels outils on peut utiliser pour appréhender la nature géométrique des solutions.

Le flot de Ricci a été très utile dans l'étude des variétés lisses, il est légitime de se demander si on peut définir un flot pour une classe d'espaces métriques plus large. On s'intéressera ici en particulier au espaces métriques qui sont limites au sens de Gromov-Hausdorff de variétés à courbure minorée et satisfaisant certaines conditions de non-effondrement. Le "courbure minorée" de la phrase précédente est volontairement vague, la notion de minoration de la courbure utilisée faisant intervenir des conditions de courbure invariantes par le flot de Ricci (comme une minoration de l'opérateur de courbure). Au cours de l'exposé, on construira un flot de Ricci pour certains espaces métriques et on utilisera cette construction pour montrer des résultats de rigidité sur les variétés à opérateur de courbure presque positif. Si le temps le permet, on montrera aussi qu'en dimension 2, on peut obtenir une théorie satisfaisante du flot de Ricci pour les surfaces à courbure minorée au sens d'Alexandroff.

On s'intéressera à des problèmes de maximisation de valeurs propres du laplacien sur une variété riemannienne, en particulier dans une classe conforme fixée. Après avoir brièvement passé en revue les quelques résultats connus et les nombreuses questions ouvertes sur le sujet, on étudiera plus particulièrement le cas de la classe conforme de la sphère standard avec deux résultats récents.