Complex structure of complete bounded minimal surfaces
On étudie les propriétés de régularisation instantanée du flot de Ricci sur des cônes métriques à courbure positive. Plus précisément, on montre que l'on peut lisser de tels objets à l'aide de solitons de Ricci gradients expansifs. De manière équivalente, on étudie la connexité de l'espace de module des structures expansives à courbure positive asymptotiquement coniques.
Le modèle de Poland-Scheraga (PS) est le modèle standard pour étudier la transition de dénaturation de deux brins d’ADN complémentaires et de même longueur. Ce modèle a fait l’objet d’une attention remarquable car il est exactement résoluble dans sa version homogène. Le caractère résoluble est lié au fait que le modèle PS homogène peut être mis en correspondance avec un processus de renouvellement discret. Dans la littérature biophysique une généralisation du modèle, obtenue en considérant des brins non complémentaires et de longueurs différentes, a été considérée et le caractère résoluble s’étend à cette généralisation substantielle.
Dans cette thèse, nous présentons une analyse mathématique du modèle de Poland- Scheraga généralisé. Nous considérons d’abord le modèle homogène et nous exploitons que les deux brins de la chaîne peuvent être modélisés par un processus de renouvellement en deux dimensions. La distribution $K(\cdot)$ de l’emplacement (bidimensionnel) du premier contact entre les deux brins est supposée de la forme $K(n+m) = (n+m)^{−\alpha−2}L(n+m)$ avec $\alpha\ge 0$ et $L(\cdot)$ à variation lente et correspond à une boucle avec $n$ bases dans le premier brin et $m$ dans le deuxième. Nous étudions la transition de localisation-délocalisation et nous montrons l’existence des transitions à l’intérieur de la phase localisée. Nous présentons ensuite des estimations précises sur les propriétés de chemin du modèle.
Ensuite, nous étudions la version désordonnée du modèle en incluant une séquence de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées à deux indices. Nous nous concentrons sur l’influence du désordre sur la transition de dénaturation: nous voulons déterminer si la présence des inhomogénéités modifie les propriétés critiques du système par rapport au cas homogène. Nous prouvons que le désordre est non pertinent si $\alpha<1$ et nous montrons que pour $\alpha > 1$, les points critiques gelés et recuits diffèrent (basant sur les techniques de coarse graining et la méthode des moments fractionnaires), ce qui prouve la présence d’un régime de désordre pertinent.
