We review the recent results of Ricci flow on open surfaces. We also recall some facts about the convergence theory of Riemannian metrics and the maximum principle tricks used in the study of Ricci flows. We give proofs of the convergence of the global Ricci flow on the plane.
La géométrie sous-riemannienne peut être vue comme une généralisation de la géométrie riemannienne avec des contraintes non holonomes. Du point de vue théorique il s'agit de la géométrie sous-jacente à la théorie des opérateurs hypo-elliptiques.
Mon premier exposé sera consacré à une introduction au sujet. Pour cela, je vais discuter l'exemple fondamental du groupe de Heisenberg, où la nature non
commutative et le caractère anisotrope de cette géométrie est déjà évident.
Dans la deuxième partie, je vais présenter des résultats sur les liens entre le développement asymptotique en temps petit du noyau de la chaleur sous-riemannien et la géométrie de ces variétés. En particulier, on discutera comment le développement en temps petit du noyau de la chaleur $p(t,x,y)$, où $y$ appartient au lieu de coupure de $x$, est lié à la "géométrie" des géodésiques reliant $x$ et $y$ (i.e. à "combien" le point $y$ est conjugué par rapport à $x$).
La géométrie sous-riemannienne peut être vue comme une généralisation de la géométrie riemannienne avec des contraintes non holonomes. Du point de vue théorique il s'agit de la géométrie sous-jacente à la théorie des opérateurs hypo-elliptiques.
Mon premier exposé sera consacré à une introduction au sujet. Pour cela, je vais discuter l'exemple fondamental du groupe de Heisenberg, où la nature non
commutative et le caractère anisotrope de cette géométrie est déjà évident.
Dans la deuxième partie, je vais présenter des résultats sur les liens entre le développement asymptotique en temps petit du noyau de la chaleur sous-riemannien et la géométrie de ces variétés. En particulier, on discutera comment le développement en temps petit du noyau de la chaleur $p(t,x,y)$, où $y$ appartient au lieu de coupure de $x$, est lié à la "géométrie" des géodésiques reliant $x$ et $y$ (i.e. à "combien" le point $y$ est conjugué par rapport à $x$).
We prove the infinitesimal rigidity of smooth convex surfaces by using the variational properties of the total mean and total scalar curvatures.
Je parlerai d'un travail récent en collaboration avec Thierry De Pauw (Paris 7, IMJ) et Vincent Millot (Paris 7, LJLL), dont la motivation principale est de comprendre comment la norme ambiante de l'espace influence la régularité des solutions d'un problème de type Plateau. A cette fin, on se restreint aux ensembles de dimension $1$ : plus précisément, les ensembles considérés sont des fermés connexes qui presque-minimisent localement la mesure de Hausdorff $\mathcal{H}^1,$ où l'excès de presque-minimalité est controlée par une fonction jauge $\xi(r)$ dans une boule de rayon $r$. Il est bien connu que ces ensembles sont $C^1$ $\mathcal{H}^1$-presque partout dans l'espace euclidien, sous réserve que la jauge satisfasse une condition de type Dini. Dans l'exposé je donnerai une condition sur la norme pour que ce résultat reste vrai dans un espace de Banach plus général.
We present a unified approach to three different topics in a general Riemannian setting: splitting theorems, symmetry results and overdetermined elliptic problems. By the existence of a stable solution to the semilinear equation $−\Delta u = f (u)$ on a Riemannian manifold with non-negative Ricci curvature, we are able to classify both the solution and the manifold. We also discuss the classification of monotone solutions (with respect to the direction of some Killing vector field), in the spirit of a conjecture of De Giorgi, and the rigidity features for overdetermined elliptic problems on submanifolds with boundary.
Cet exposé concernera l'existence des solution non paramétriques du problème de capillarité.
On regarde des convexes dans $\mathbb{R}^{d+1}$ (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l'application de Gauss soit surjective sur l'espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d'aires pour ces convexes, et étudier les problèmes de Christoffel (prescription de la mesure d'aire d'ordre $1$) et de Minkowski (prescription de la mesure d'aire d'ordre $d$).
Une classe d'exemples de tels convexe est donnée par des variétés lorentziennes plates venant de la relativité générale. Dans un cas simple, on obtient des convexes invariants sous l'action d'un groupe d'isométries linéaires. Si le groupe est fixé, il y a une théorie analogue à la théorie des volumes mixtes pour les corps convexes.
Travail partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.
