On regarde des convexes dans $\mathbb{R}^{d+1}$ (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l'application de Gauss soit surjective sur l'espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d'aires pour ces convexes, et étudier les problèmes de Christoffel (prescription de la mesure d'aire d'ordre $1$) et de Minkowski (prescription de la mesure d'aire d'ordre $d$).

Une classe d'exemples de tels convexe est donnée par des variétés lorentziennes plates venant de la relativité générale. Dans un cas simple, on obtient des convexes invariants sous l'action d'un groupe d'isométries linéaires. Si le groupe est fixé, il y a une théorie analogue à la théorie des volumes mixtes pour les corps convexes.

Travail partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.