Cet exposé fait suite à l'exposé de L. Alias de Janvier. Une surface de type espace est une surface piégée marginale si son vecteur de courbure moyenne est de type lumière. Nous résolvons localement cette équation et donnerons quelques exemples de surfaces ainsi que de surfaces minimales dans $\mathbb R^4$.

(Travail en collaboration avec L. Alias et M. Ville).

Les surfaces pseudo-sphériques sont des surfaces à courbure de Gauss constante et négative. Une telle surface peut être réalisée dans l'espace 3D comme une surface de révolution par rotation du graphe d'une courbe dite tractrice autour de l'axe $z$. Un lien remarquable existe entre les solutions de l'équation de Sine-Gordon $u_{xt} = \sin u$ et les surfaces pseudo-sphériques, au sens suivant : chaque solution générique de cette équation donne lieu à une surface pseudo-sphérique. De plus, les surfaces pseudo-sphériques obtenues via les solutions de l'équation de Sine-Gordon ont la propriété que la manière dans laquelle ces surfaces pseudo-sphériques sont réalisées dans l'espace 3D peut être décrite par une formule explicite et "fermée".

L'équation de Sine-Gordon n'est qu'une équation parmi une vaste classe d'équations différentielles dont les solutions définissent des surfaces pseudo-sphériques. Ces équations différentielles ont été définies et classifiées par Chern, Tenenblat et autres, et elles incluent presque tous les exemples connus des EDP intégrables.

Une question naturelle est de savoir quelles sont les autres équations différentielles qui jouissent de la même propriété remarquable que l'équation de Sine-Gordon par rapport à la manière de les réaliser dans l'espace 3D. Nous montrerons que la réponse à cette question est négative, et nous donnerons une classification complète des équations hyperboliques du second ordre et d'évolution de tout ordre. Nous montrerons, entre autres que, vue sous les prismes des immersions isométriques, l'équation de Sine-Gordon est unique parmi les équations intégrables.

L'inégalité de Sobolev classique sur une variété Riemannienne à courbure de Ricci positive nécessite l'hypothèse de croissance de volume maximale. En 2006, Minerbe a supprimé cette hypothèse en introduisant des inégalités de Sobolev à poids.

Les ingrédients pour établir ces inégalités étant essentiellement la condition de doublement, l'inégalité de Poincaré, et une condition de doublement inverse idoine, on pourrait s'attendre à ce qu'elles soient vérifiées sur une classe plus ample d'espaces métriques mesurés. C'est le cas pour les espaces à courbure de Ricci positive au sens du transport optimal, communément appelés espaces $CD(0,N)$.

Dans cet exposé, j'expliquerai ce que sont ces espaces et comment la preuve de Minerbe fonctionne dessus.

On commencera par introduire l'équation elliptique de Moser-Trudinger avec non-linéarité exponentielle à croissance critique. On donnera notamment des motivations variationnelles et les principaux résultats existants sur le sujet. On décrira alors notre résultat, obtenu en collaboration avec Olivier Druet, sur l'analyse de blow-up pour cette équation. Ce résultat répond à des questions posées par Adimurthi-Struwe, Druet, Martinazzi-Malchiodi, et Del Pino-Musso-Ruf.

On conclura en montrant comment l'analyse précise des défauts de compacité pour cette équation permet d'obtenir des résultats nouveaux d'existence de solutions de "haute énergie".

Un théorème de Richard Courant (1923) énonce qu'une fonction propre $u$ du Laplacien -- par exemple dans un domaine borné de $\mathbb R^n$, avec conditions de Dirichlet -- ne peut pas avoir plus de domaines nodaux (les composantes connexes du complémentaire de $u^{-1} (0)$) que l'ordre de la valeur propre correspondante (les valeurs propres étant rangées dans l'ordre croissant, avec multiplicités). Ce théorème généralise partiellement, en dimension supérieure ou égale à $2$, un théorème de Charles Sturm (1836) pour les équations de Sturm-Liouville.

Dans cet exposé, je parlerai de développements récents autour du théorème de Courant, en particulier de travaux en collaboration avec Bernard Helffer.

La recherche d'une compactification de l'espace des métriques riemanniennes à singularités coniques sur une surface nous amène à l'étude des surfaces à "Courbure Intégrale Bornée", une géométrie singulière développée par Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970. Dans cet exposé je présenterai un théorème de compacité pour ces surfaces. En corollaire on obtient une compactification des métriques à singularités coniques, où on autorise les singularités à s'accumuler.

Je présenterai un logiciel mathématique que je développe avec Jonah Gaster, dont le but principal est de calculer des applications harmoniques entre surfaces hyperboliques, ou plus généralement des applications harmoniques équivariantes (« tordues ») du plan hyperbolique dans un espace symétrique. L'existence et l'unicité de telles applications est garantie par le théorème de Eells-Sampson dans le cas le plus simple, et par le théorème de Corlette en général.

Une grande partie de l'exposé sera consacrée aux motivations de ce projet, notamment en théorie de Teichmüller généralisée, ainsi qu'aux outils théoriques permettant le calcul effectif de telles applications. Un aperçu du logiciel est disponible sur ma page web.

Nous considérons l'évolution par l'inverse de la courbure moyenne d'une surface étoilée, fermée et à courbure moyenne positive dans l'espace hyperbolique complexe. Nous montrons que le flot est défini pour tout temps positif et que la surface reste étoilée et à courbure moyenne positive. De plus, la métrique induite, après un changement d'échelle, converge vers un multiple conforme de la métrique sous-riemannienne standard sur la sphère de dimension impaire. Nous allons montrer l'existence d'exemples de données initiales telles que cette limite sous-riemannienne n'a pas la courbure de Webster constante.

In the 1990's, T'Hooft suggested to study 3-dimensional singular flat spacetimes with polyhedral Cauchy-surfaces as toy model to understand quantum gravity. This motivates the study of singular spacetimes however the type of a singularity in a Lorentzian manifold depends on both the type of the axis and the causality around it which strongly contrast with the riemannian context. BTZ-like singularities are limit cases of "massive particles" which are close Lorentzian equivalent to conical singularities.

We present some classification results on Cauchy-compact spacetimes with BTZ and present ramifications of the convex hull method used by Penner to construct a cellulation of his decorated Teichmüller space.

We will discuss the problem of existence and uniqueness of surfaces of negative constant (or prescribed) Gaussian curvature $K$ in $(2+1)$-dimensional Minkowski space. The simplest example, for $K=-1$, is the well-known embedding of hyperbolic plane as the one-sheeted hyperboloid; however, as a striking difference with the sphere in Euclidean space, in Minkowski space there are many non-equivalent isometric embeddings of the hyperbolic plane.

This problem is related to solutions of the Monge-Ampère equation $\det D^2 u(z)=(1/|K|)(1-|z|^2)^{-2}$ on the unit disc. We will prove the existence of surfaces with the condition $u=f$ on the boundary of the disc, for $f$ a bounded lower semicontinuous function. If the curvature $K=K(z)$ depends smoothly on the point $z$, this gives a solution to the so-called Minkowski problem.

On the other hand, we will prove that, for $K$ constant, the principal curvatures of a $K$-surface are bounded from below by a positive constant if and only if the corresponding function $f$ is in the Zygmund class. Time permitting, we will discuss some generalizations to constant affine curvature.