In this work we study smooth solutions to a fractional mean curvature flow equation. We establish a comparison principle and consequences such as uniqueness and finite extinction time for compact solutions. We also establish evolutions equations for fractional geometric objects that in turn yield the preservation of certain quantities, such as the positivity of the fractional mean curvature.

In this talk, we will deal with complete maximal hypersurfaces in spatially open $(n+1)$-dimensional Robertson-Walker spacetimes with flat fiber. Indeed, under natural geometric and physical assumptions we will obtain a new Calabi-Bernstein type result for these hypersurfaces as well as some nonexistence ones. To conclude, we will also apply these results to some relevant spacetimes, such as the steady state spacetime, the Einstein-de Sitter spacetime and certain radiation models.

The concept of trapped surfaces was originally formulated by Penrose for the case of 2-dimensional spacelike surfaces in $4$-dimensional spacetimes in terms of the signs or the vanishing of the so-called null expansions. This is obviously related to the causal orientation of the mean curvature vector of the surface, which provides a better and powerful characterization of the trapped surfaces and allows the generalization of this concept to codimension two spacelike submanifolds of arbitrary dimension $n$. In this sense, an $n$-dimensional spacelike submanifold $\Sigma$ of an $(n + 2)$- dimensional spacetime is said to be future trapped if its mean curvature vector field $H$ is timelike and future-pointing everywhere on $\Sigma$, and similarly for past trapped. If $H$ is lightlike (or null) and future-pointing everywhere on $\Sigma$ then the submanifold is said to be marginally future trapped, and similarly for marginally past trapped. Finally, if $H$ is causal and future-pointing everywhere, the submanifold is said to be weakly future trapped, and similarly for weakly past trapped. The extreme case $H = 0$ on $\Sigma$ corresponds to a minimal submanifold. In this lecture we consider codimension two compact marginally trapped submanifolds in the light cone of de Sitter space. In particular, we show that they are conformally diffeomorphic to the round sphere and, as an application of the solution of the Yamabe problem on the round sphere, we derive a classification result for such submanifolds. We also fully describe the codimension two compact marginally trapped submanifolds contained into the past infinite of the steady state space.

This is part of our work in progress with Verónica L. Cánovas (from Murcia) and Marco Rigoli (from Milano).

Dans les géométries de courbure constante, les boules géodésiques sont les domaines optimaux pour de nombreux problèmes d'optimisation de formes, notamment de nature spectrale. On peut s'attendre à des caractérisations similaires dans les espaces symétriques de rang un, dans la mesure où les boules y sont les domaines les plus symétriques. Cependant très peu de résultats de ce type y sont connus.

Dans cet exposé nous montrerons que les boules géodésiques sont les seuls maximiseurs de la première valeur propre de Steklov parmi les domaines de volume fixé, généralisant aux espaces symétriques de rang un non compacts une inégalité obtenue par F. Brock dans l'espace euclidien.

Il s'agit d'un travail en commun avec Berardo Ruffini.

Etant donnée une courbe $c$ dans une $3$-variété triangulée $M$, comment déterminer si $c$ est contractile ?

Dans la suite, nous supposons toujours que $c$ est sur le bord de $M$. Le cas où $c$ est sans auto-intersections a été étudié par Hass, Lagarias et Pippenger (1999) en utilisant la notion de surfaces normales, en lien avec le problème du noeud ; ils montrent que le problème est dans NP, ce qui donne un algorithme exponentiel. Je décrirai un algorithme avec la même complexité qui résout le problème dans le cas plus général où $c$ peut avoir des auto-intersections. La méthode repose de façon clé sur la démonstration du Loop Theorem.

Cet exposé, résultat d'un travail en commun avec Salman Parsa, ne nécessite aucune connaissance préalable en algorithmique et complexité.

While the round spheres are exceptionally rigid among compact self-expanding solitons, even in the class of rotational hypersurfaces, there are interesting examples of complete noncompact self-expanders. Indeed, G. Huisken and T. Ilmanen constructed a complete, rotationally symmetric, self-expander with one asymptotically cylindrical end. First, we use the shooting method to construct new self-expanders, so called infinite bottles, having two cylindrical ends (joint with G. Drugan and G. Wheeler, 2015). Second, motivated by the role of Jacobi fields for constant mean curvature surfaces, we investigate the linearized operator of the soliton equation to establish the rigidity of rotational self-expanders (joint work with G. Drugan and F. Fong, 2016).

We show that $n$-manifolds with a lower volume bound $v$ and upper diameter bound $D$ whose curvature operator is bounded below by $-\varepsilon(n,v,D)$ also admit metrics with nonnegative curvature operator. The proof relies on heat kernel estimates for the Ricci flow and shows that various smoothing properties of the Ricci flow remain valid if an upper curvature bound is replaced by a lower volume bound.

Une question centrale de l'étude spectrale des surfaces hyperboliques est l'existence de petites valeurs propres du laplacien (c'est-à-dire contenues dans l'intervalle $[0,1/4[$). On sait que sur une surface hyperbolique compacte, leur nombre est majoré de manière optimale en fonction de la topologie. On verra dans l'exposé que sous certaines hypothèses géométriques (portant sur la systole ou le profil isopérimétrique) le nombre de petites valeurs propres n'atteint pas la borne topologique, et qu'on peut parfois conclure à l'absence de petite valeur propre non nulle.

Soit $S_1$ et $S_2$ deux surfaces complètes où $S_2$ est hyperbolique et $F : S_1\to S_2$ un difféomorphisme harmonique. Dans cet exposé, nous étudierons le lien entre les types conformes de $S_1$ et $S_2$. Nous prouverons que, si $S_2$ est d'aire finie, $S_1$ est alors parabolique. Si $S_2$ est d'aire infinie, nous montrerons qu'il existe un tel $F$ où $S_1$ est de type conforme parabolique. Ce dernier résultat généralise un travail de Collin et Rosenberg où $S_2$ est $\mathbb H^2$.

Il s'agit d'un travail en commun avec M. Rodriguez et H. Rosenberg.

Le problème des surfaces minimales dans $\mathbb H^3$ vient naturellement comme une extension de celui des surfaces à bord libre dans $B^3$. Après avoir parcouru les résultats “classiques” d’existence, d'unicité et de régularité, je présenterai deux articles, de Alexakis et Mazzeo, qui jettent une nouvelle lumière sur ce problème. Notamment en définissant l’aire renormalisée de telles surfaces, celle-ci n’étant rien d’autre que l’énergie de Willmore de ces surfaces vues dans $B^3$.

Cet exposé vient faire écho à celui de Romain et se veut le point de départ d’un petit GdT que j’aimerais mettre en place.